(
课件网) 第五节 空间向量及其运算和空间位置关系 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式. 2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 5.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理. 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____ 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 存在λ∈R，使_____ 平行或重合 a＝λb 2.数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积 (2)空间向量的坐标运算 3.直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l ，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量 平行或共线 4.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 n1∥n2 (k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2 _____ l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n⊥m _____ l⊥α n∥m (k∈R) α∥β 平面α，β的法向量分别为n，m n∥m n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m _____ n1＝kn2 n1·n2＝0 n·m＝0 n＝km n·m＝0 (4)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (5)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． (6)用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外． 1．(人教A版选择性必修第一册P12·T1改编)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是 ( ) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b} 答案：C 4．(人教B版选择性必修第一册P25·T5改编)设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝_____. 答案：10 5．(人教A版选择性必修第一册P9·T4改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_____． 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点(一) 空间向量的线性运算 [题点全训] [一“点”就过] 进行向量的线性运算，有以下几个关键点 (1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系． (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 层级二/ 重难点———逐一精研(补欠缺) 重难点(一) 空间向量数量积及其应用 [典例] 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. [方法技巧] 空间向量数量积的3个应用 重难点(二) 利用空间向量证明平行或垂直 [典例] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB， B1C的中点． (1)证明：平面A1BD∥平面B1CD1； (2)证明：MN⊥平面A1BD. [方法技巧] (1)选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所要解决的问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程； (2)通过计算向量的数量积为0，可证明垂直问题； (3)要证线面平行，只要证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示即可． [针对训练] 如图所示， ... ...
