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课件网) 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类题的关键是确定球心． 类型一 外接球问题 方法(一) 定义找心 由球的定义确定球心，在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． [方法技巧] 由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是： (1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点； (2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处． 2．若半径为1的球的内接正三棱柱的侧面为正方形，则该正三棱柱的体积为_____，表面积为_____． 方法(二) 补形找心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．部分空间几何体可以通过补形补成正方体、长方体或棱柱等途径确定球心． [方法技巧] 补形求心的常用模型 (1)有两个面是共直角边的三棱锥，可补成棱柱； (2)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体； (3)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体； (4)若已知棱锥含有线面垂直关系， 则可将棱锥补成长方体或正方体． [针对训练] 1．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ( ) A．12π B．20π C．24π D．32π 方法(三) 截面找心 找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法． [典例] (1)(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为 ( ) [方法技巧] 这类题的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究． [针对训练] 1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则三棱锥B1-C1EC的外接球的表面积为 ( ) A．12π B．20π C．24π D．32π 类型二 内切球问题 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合． (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合． [方法技巧] 简单多面体内切球问题 (1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系； (2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)． 常见几何体内切球半径的求法： ... ...
