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课件网) 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 时，P点不存在． 距离的差的绝对值 焦点 焦距 2a<|F1F2| 2a＝|F1F2| 2a>|F1F2| 2．双曲线的标准方程和几何性质 续表 5．(人教A版选择性必修第一册P127·T6改编)经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____． 层级一/ 基础点———自练通关(省时间) 基础点(一) 双曲线的标准方程 [题点全训] 1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 ( ) [一“点”就过] 双曲线标准方程的两种求法 [一“点”就过] 研究双曲线几何性质的步骤 (1)将所给方程正确化成双曲线的标准形式． (2)根据方程判断出双曲线的焦点在哪个坐标轴上． (3)准确求出a，b，进而求出双曲线的其他有关问题． [方法技巧] (1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． (2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9. 答案：9 [方法技巧] 求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程． [方法技巧] 解与双曲线有关范围问题的方法 几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解 代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解 2．(忽视双曲线定义的条件)已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是 ( ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 解析：依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． 答案：D 7．(借助数学文化)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为 ( ) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(0,5) D．(5，＋∞) ... ...
