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课件网) 第二十五章 图形的相似 25.5 第1课时 相似三角形的性质1 （1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？ ①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例; ④直角三角形中，斜边和直角边对应成比例 知识回顾 A B C A' B' C' ①相似三角形的对应角_____ ②相似三角形的对应边_____ 想一想:它们还有哪些性质呢 （3）相似三角形有何性质？ （4）什么是相似三角形的相似比？ 相似比=对应边的比= 相等 成比例 D' C' B' A' 小明买了一个按1:100的比例缩小的宫殿模型,宫殿的屋顶形成如图所示的三角形.其中△ABC是模型的屋顶，△A'B'C'是宫殿的屋顶.小明认为△ABC与△A'B'C'是相似的，测得BC边上的高为2cm，就推测宫殿的屋顶的高为2米.你同意小明的说法吗？ A D C B 情景导入 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 获取新知 如果两个三角形相似， 那么，对应的这些要素有什么关系呢？ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ A B C A' B' C' 探究活动一 D D' 解：如图，分别作出△ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， ∴△ABD ∽△A' B' D' . 表示k的比例式是什么？ 只需证明△ABD和△A'B'D' 相似三角形对应高的比等于相似比． 问题： 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AD、A′D'分别是边BC和B'C'上的中线.求证： A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想1 证明：∵△ABC∽△A'B'C' ∴∠B=∠B'， ∵AD、A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的中线 ∴△ABD∽△A'B'D' 结论：相似三角形的对应中线的比等于相似比 A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想2 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AE、A′E'分别是边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线. 求证： 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠BAC=∠B'A'C' . 又∵AE、A′E'分别是边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线， 结论：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 ∴ △ABE∽△A′B′E′. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 相似三角形性质定理： ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ A B C D E A' B' C' D' E' F F' 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，EF//BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G， , AD=15.求AG的长. ① ② ③ ④ ① 三角形的高出现 ② 相似三角形 ③ 相似比 ④ A B C E F D G △ABC的高 所求AG △AEF的高 解题思路：相似三角形对应高的比等于相似比. 例题讲解 A B C E F D G 解：∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∴AD⊥BC ∴AG⊥EF 解得，AG=9 （相似三角形对应高的比等于相似比） 例1.（拓展）如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长. A B C N M Q P D 分析： 1.从图形中提取与例1相同的图形 2.思路：相似三角形对应高的比等于相似比. 解:设PQ与AD交于点E ∵四边形PQMN是正方形 ∴PQ//BC ∴△APQ∽△ABC 设正方形的边长为x,则PQ=x,AE=8-x 解得，x=4.8 ∴这个正方形零件的边长是4.8cm. (相似三角形对应高的比等于相似比） ... ...
