1.2.1等差数列的概念及其通项公式 学案（2份打包）

第2课时　等差数列的概念及其通项公式(二) [教材要点] 要点一　等差数列与一次函数的关系 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_____，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，数列{an}为_____，如图甲所示． 当d<0时，数列{an}为_____，如图乙所示． 当d＝0时，数列{an}为_____，如图丙所示． 状元随笔　 项目 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式 要点二　等差中项 (1)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成_____数列，那么A叫作a与b的等差中项． (2)如果A是a与b的等差中项，则A＝_____． 状元随笔　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项． 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的均成立，则数列{an}是等差数列． 因此，数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) (4)任意两个实数都有等差中项．(　　) 2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列　　　B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 4．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则B等于_____. 题型一　等差数列与一次函数的关系 例1　已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由； (3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项． 方法归纳 (1)根据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b. (2)判断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调． 跟踪训练1　在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 021＝_____． 题型二　等差中项 例2　已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为_____． 变式探究　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 方法归纳 当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…. 跟踪训练2　若四个非零实数a，x，b，2x成等差数列，则的值为_____． 题型三　等差数列性质的应用 例3　(1)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝_____． (2)在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝_____． 方法归纳 等差数列的性质 若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，它的性质有： (1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)； (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则an＋am＝ap＋aq； 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则 ... ...