中南大学附中2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用

中南大学附中2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，若，则必有( ) A． B． C． D． 【答案】A 2．已知函数的导数为0的值也使值为0，则常数的值为( ) A．0 B． C．0或 D．非以上答案 【答案】A 3．下列式子中与相等的是( ) 　 (1）； (2）； 　 (3） (4） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】B 4．曲线在点处的切线的倾斜角为( ) A． B． C． D． 【答案】D 5．曲线在点处的切线的斜率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 6．已知函数,当自变量由变化到时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数( ) A．在处的变化率 B．在区间上的平均变化率 C．在处的变化率 D．以上结论都不对 【答案】B 7．已知点M(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，则点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 8．若，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 9．若函数的导函数可以是( ) A． B． C． D． 【答案】B 10．给出以下命题: ⑴若,则f(x)> 0； ⑵; ⑶f(x)的原函数为F(x),,且F(x)是以T为周期的函数,则； 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 11．函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为( ) A．(-1，1) B．(-1，+∞) C．(-∞，-l) D．(-∞,+∞) 【答案】B 12．有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为( ) A． B． C． D． 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．设曲线在点处的切线为,曲线在点 处的切线为.若存在,使得,则实数的取值范围为_____． 【答案】 14．曲线在点处的切线方程是，若+=0，则实数a= 。 【答案】a=-2 15．_____． 【答案】 16．设，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数的定义域为（为实数）。 (1）求证：当时，函数在区间上单调递增； (2）当时，函数在上是否有最大值和最小值，如果有，求出函数的最值以及相应的的值。 【答案】（1）当时， . 任取，且，则 ，所以，函数在区间上单调递增 (2）同理可证，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 所以函数没有最大值。 当时，， 当时，， 18．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： (1）仓库面积的最大允许值是多少？ (2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 【答案】设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为 依题设，， ， ，即， 故，从而 所以的最大允许值是100平方米， 取得此最大值的条件是且， 求得，即铁栅的长是15米。 19．设t＞0，已知函数f (x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点． (1）求函数f (x)的单调区间； (2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－恒成立，求t的最大值； (3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值． 【答案】（1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f ′(x)＞0， 所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f (x)的单调增区间； 当0＜x ... ...