2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第四章 4.5导数与函数的零点（word含答案解析）

4．5　导数与函数的零点 (教师独具内容) 1．本考点主要考查利用导数研究函数的零点． 2．分类讨论多贯穿在函数与导数的解答题中，解题的关键是“界点”的确定，主要研究含参函数的单调性、极值与最值，以及零点问题． 3．本考点在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，考查了逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合的能力． (教师独具内容) 1．知道应用零点存在定理的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0.掌握①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在定理． 2．会通过函数有零点求参数的取值范围，知道常用的方法有分离参数法和分类讨论法．会根据参数确定函数的零点个数；会利用单调性与零点存在定理求函数的零点，或者化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求原函数的零点． 3．会通过函数求导，结合代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧解决隐零点问题及函数的极值点偏移问题． (教师独具内容) (教师独具内容) 1．已知函数有零点求参数范围常用的方法 (1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． 2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”) 对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧． 1．(2021·山东德州模拟)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　f′(x)＝2x ln 2＋3x2，在(0，1)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增，因为f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，所以函数在区间(0，1)内的零点个数为1. 2．(2021·山西高三期中)已知函数f(x)＝的图象上存在关于直线x＝2对称的不同两点，则实数a的取值范围是(　　) A．(e，＋∞) B．(e eq \s\up15()－2，＋∞) C．(－∞，2e－1) D．(－∞，e eq \s\up15()) 答案　B 3．(2021·江西省兴国县第三中学高三模拟)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)有两个零点，分别为x1，x2，且3x10，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，因为当x＜0时，g(x)＜0，当x＝0时，g(x)＝0，当0＜x＜1时，0＜g(x)＜，当x＝1时，g(x)＝，当x＞1时，0＜g(x)＜，所以0时满足条件，故a的取值范围为.故选D. 4．(2021·浙江杭州高三模拟)已知函数f(x)＝ax2ex－1(a≠0). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)已知a＞0且x∈[1，＋∞)，若函数f(x)没有零点，求a的取值范围． 解　(1)f′(x)＝2axex＋ax2ex＝axex(2＋x)，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝－2， ①若a＞0，当x＜－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当－2＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； ②若a＜0，当x＜－2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当－2＜x＜0 ... ...