12．2　复数的运算 学案

第2课时　复数的乘方与除法运算 探究点1　复数的乘方运算 设ω＝－＋i，求证： (1)1＋ω＋ω2＝0； (2)ω3＝1. 【证明】　(1)因为ω2＝(－＋i)2＝－i－＝－－i， 所以1＋ω＋ω2＝1＋(－＋i)＋(－－i)＝0. (2)ω3＝ωω2＝(－＋i)(－－i)＝(－)2－(i)2＝＋＝1. 复数的乘方运算，主要是根据复数的乘法进行计算，需要注意(1±i)2＝±2i 等类似结论．　 1．已知a，b∈Z，复数z＝a＋bi满足z3＝－2＋2i，则a＋b＝(　　) A．1　 B．2 C．3 D．4 解析：选B．z3＝(a＋bi)2(a＋bi)＝(a2－b2＋2abi)(a＋bi)＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i＝－2＋2i，所以①＋②得，a3－3ab2＋3a2b－b3＝0，即(a－b)3＝0，所以a＝b，即3a3－a3＝2，所以a＝1，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2，故选B． 2.＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：选C．3＝2× ＝×＝－－＝－1， 故选C． 探究点2　复数的除法运算 计算： (1)； (2). 【解】　(1)＝ ＝＝＝＋i. (2)＝＝＝ ＝＝＝1－i. 解决复数的除法运算问题的思路 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．　 1.＝(　　) A．－－i　 B．－＋i C．－－i D．－＋i 解析：选D．＝＝＝＝－＋i，故选D． 2．计算：(1)＋；(2). 解：(1)＋＝＋＝i－i＝0. (2)＝ ＝＝＝＝－1＋i. 探究点3　在复数集内解方程 已知复数z＝＋1＋i，i为虚数单位． (1)求； (2)若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的值． 【解】　(1)因为复数z＝＋1＋i＝＋1＋i＝1－2i＋1＋i＝2－i， 所以＝2＋i. (2)因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根， 所以(2－i)2＋m(2－i)＋n＝0， 所以4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，所以(3＋2m＋n)－(m＋4)i＝0， 所以解得m＝－4，n＝5. 实系数的一元二次方程的虚数根是成对出现的，并且两根互为共轭复数． 关于x的实系数方程x2－ax＋ab＝0. (1)设x＝1－i(i是虚数单位)是方程的根，求实数a，b的值； (2)证明：当>时，该方程没有实数根． 解：(1)因为x＝1－i是方程的根，所以1＋i也是方程的根， 由根与系数的关系得1－i＋1＋i＝a， ＝ab， 解得a＝2，b＝2. (2)证明：因为>， 所以－＝>0 4a>0 4ab－a2>0， 所以Δ＝a2－4ab<0， 所以原方程无实数根． 1．复数(i为虚数单位)的虚部是(　　) A．－1　　 B．1 C．－i　 D．i 解析：选B．因为＝＝ －＝＝i，所以虚部是1，故选B． 2．设z＝，复数z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选D．因为z＝＝＝＝＝＝－1＋i， 因此＝－1－i.故选D． 3．已知＝a＋3i，则a＝(　　) A．－2＋3i B．2－3i C．2＋3i D．－2－3i 解析：选D．由题知a＝－3i＝－3i ＝－3i＝－2－3i.故选D． 4．计算： (1)＋； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i). 解：(1)＋＝＋ ＝i(1＋i)＋＝－1＋i＋(－i)1 009 ＝－1＋i－i＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i＋25－25i＝47－39i. [A　基础达标] 1．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i) B．i(1－i)2 C．i2(1＋i)2 D．i＋i2＋i3＋i4 解析：选C．对于A，i(1＋i)＝i－1不是纯虚数；对于B，i(1－i)2＝－2i2＝2是实数； 对于C，i2(1＋i)2＝－2i为纯虚数；对于D，i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0不是纯虚数． 故选C． 2．若复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则(　　) A．2z2－2z－1＝0 B．2z2－2z＋1＝0 C．z2－2z－2＝0 D．z2－2z＋2＝0 解析：选D．因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝2i，2z＝2(1＋i)＝2＋2i， 所以z2－2z＋2＝0.故选D． 3．设i是虚数单位，则2 020＝(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 解析：选C．由于＝＝＝－i， 所以2 020＝2 020＝4×505＝1. ... ...