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课件网) 2.2.2 充要条件 1.理解充要条件的意义. 2.理解性质定理、判定定理与充要条件的关系. 课标要求 素养要求 利用充要条件的判断,提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 课前预习 知识探究 1 充要条件 (1)如果p q,且q p,那么称p是q的_____条件,简称为p是q的_____条件,也称____的充要条件是____. (2)如果p q,q s,则p____s. 如果p q,q s,则p____s. 充分且必要 充要 q p 1.思考辨析,判断正误 (1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( ) (2)“xy>0”是“x>0,y>0”的充要条件.( ) √ × (3)若p是q的充要条件,则p与q是两个相互等价的条件.( ) (4)若p是q的充要条件,则p是唯一的.( ) 提示 {x|x≥1}={y|y=x2+1,x∈R},可以有不同表示. √ × C 2.设p:x<5,q:-1<x<5,则p是q成立的( ) A.充分条件,但不是必要条件 B.充要条件 C.必要条件,但不是充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 若x=1,则x2-2x+1=0; 若x2-2x+1=0,则x=1.故选A. A 4.已知p:4-x≤6,q:x≥a-1.若p是q的充要条件,则实数a=_____. 解析 ∵p:4-x≤6,即x≥-2,q:x≥a-1, 故由题意知a-1=-2,∴a=-1. -1 课堂互动 题型剖析 2 题型一 充要条件的判断 【例1】 指出下列各题中,p是q的什么条件: (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; (2)p:|x|>1,q:x2>1; ∴p是q的充分条件,但p不是q的必要条件. (2)∵p q,q p, ∴p是q的充要条件. (3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab>0. ∴p是q的必要条件,但p不是q的充分条件. (4)∵ab=0时,|ab|=ab, ∴|ab|=ab不能推出ab>0, ∴p是q的必要条件,但p不是q的充分条件. 思维升华 判断p是q的什么条件,关键是判断p q及q p这两个命题是否成立. 【训练1】 判断下列各题中p是q的什么条件. (1)p:ab>0,q:a,b中至少有一个不为零; (2)p:x>1,q:x≥0; (3)p:A∩B=A,q: UB UA. ∴p是q的充分条件,但p不是q的必要条件. ∴p是q的充分条件,但p不是q的必要条件. (3)∵A∩B=A A B UB UA, ∴p是q的充要条件. 题型二 充分条件、必要条件的探求 B (2)设a∈R,则a>4的一个必要条件但不是充分条件是( ) A.a>1 B.a<1 C.a>5 D.a<5 A 探求充分条件、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p,即求使结论q成立的条件p,从集合的角度看,是找q对应集合的子集,得出子集对应的条件p; (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含条件q对应的集合,得出集合对应的结论p. 思维升华 【训练2】 (1)0<x<2的一个必要条件但不是充分条件是( ) A.0<x<2 B.x≥-1 C.0<x<1 D.1<x<3 (2)函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是_____. 解析 (1)令0<x<2的一个必要条件但不是充分条件对应集合M,则(0,2)?M,故B符合. B m=-2 题型三 充要条件的证明 【例3】 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明 先证必要性:∵a+b=1,即b=1-a, ∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.∴必要性成立. 再证充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 设关于a的二次函数y=a2-ab+b2,其中Δ=(-b)2-4b2=-3b2<0,∴a2-ab+b2≠0,∴a+b-1=0,即a+b=1,∴充分性成立. 综上所述,a+b=1的充要条件是a3+b3 ... ...