2022年全国一卷新高考数学题型分类汇编之大题立体几何4（Word版含解析）

2022年全国一卷新高考题型分类4———大题———4立体几何11-4 试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。 其中全国卷4套，广东考卷30套，山东24，江苏24，福建14，湖南32，湖北30，河北16套。 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 后期题目会继续细分，不定内容，不定时间。 立体几何： 20. （2022年山东名校联盟J55）如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧上异于A，B的点，在矩形ABCD中，，设平面ABE与平面CDE的交线为l． （1）证明：平面ABCD；（[endnoteRef:0]） [0: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得线线平行，进而可得线面平行. （2）根据空间坐标法，计算法向量，进而可得二面角大小，或者根据长度关系，可用几何法找到二面角，进而利用余弦定理求解. 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD为矩形，∴， ∵平面 ，平面， ∴平面 又平面 ，平面平面， ∴， ∵平面 ，∴． 【小问2详解】 （法一）取AB，CD的中点分别为O，F，连接OE，OF，则， ∵平面平面，且交线为AB，∴平面， 又平面，， 当l与半圆弧相切时，，即， 以OE，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，易得，，，， 则，，， 设为平面DAE的一个法向量， 则，即， ∴，令，则， 设为平面DCE的一个法向量，则， 即，∴，令，则， ∴， 易知二面角A-DE-C的平面角大小即为， ∴二面角A-DE-C的余弦值为． （法二）当l与半圆弧相切时，，，∴， ∵平面平面，其交线为，且，平面 ， ∴平面，又平面，∴， 同理， 不妨设，则，， ∴由勾股定理得， 取DE的中点F，连接AF，FC，AC， 则，， ∴是二面角A-DE-C的平面角， 易知，，且， ∴在中，有， ∴二面角A-DE-C的余弦值为． ] （2）当l与半圆弧相切时，求二面角A-DE-C的余弦值． 19. （2022年山东百师联盟J56）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，且，线段的中点为． （1）求证：；（[endnoteRef:1]） [1: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明出平面，可得出，再利用中垂线的性质可证得结论成立； （2）证明出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 证明：连接，在菱形中，，则，且， 所以，为等边三角形，因为为中点，所以，， 又因，，所以，平面， 平面，，. 【小问2详解】 解：，为的中点，所以，， 因为等边三角形，，则， 所以，，， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 由图可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为. ] （2）求二面角的余弦值． 19. （2022年山东J57）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在棱PB上，且满足平面PCD． （1）求的值；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，表示出，求出平面PCD的一个法向量，因为平面PCD，所以，即可求出答案. （2）求出平面AEF与平面PAB的法向量，代入向量夹角公式即可求出答案. 【小问1详解】 由题意平面ABCD，，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， 则，，， 设，则， 设平面PCD的一个法向量为， 则，即，取，则； 因为平面PCD，所以，得，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面AEF的一个法向量为， 则，即，取，则； 又平面P ... ...