2.4.1 抛物线 同步测试 （苏教版选修1-1）

2.4.1 抛物线 同步测试 1．(2011年高考陕西卷改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是_____． 解析：因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2， 所以p＝4， 所以抛物线方程是y2＝8x. 答案：y2＝8x 2．抛物线x2＝4ay(a≠0)的准线方程为_____． 解析：抛物线x2＝4ay(a≠0)的焦点坐标及准线方程与a的符号无关，只与焦点所在的坐标轴有关．∵抛物线的焦点在y轴上，∴准线方程为y＝－，即y＝－a. 答案：y＝－a 3．抛物线y＝12x2的焦点到准线的距离为_____． 解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝，故焦点到准线的距离为. 答案： 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|的值为_____． 解析：由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案：8 一、填空题 1．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是_____． 解析：先判断出A?l，根据抛物线的定义知，动点的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线． 答案：抛物线 2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____． 解析：∵双曲线的方程为－＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.故填y2＝16x. 答案：y2＝16x 3．已知定点F(0,2)，若动点M(x，y)满足|MF|＝y＋2，则点M的轨迹方程为_____． 解析：由已知得点M到点F的距离等于点M到直线y＝－2的距离，故点M的轨迹方程为x2＝8y. 答案：x2＝8y 4．设抛物线的顶点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－1，则它的焦点坐标为_____． 解析：准线与坐标轴的交点和焦点连线的中点即为顶点． 答案：(5,0) 5．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是_____． 解析：由已知得动点P到直线x＝－2的距离等于P点到点M(2,0)的距离，故P点的轨迹为抛物线y2＝8x. 答案：y2＝8x 6．已知直线l经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若|AB|＝10，则线段AB的中点横坐标为_____． 解析：已知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋4＝10，∴x1＋x2＝6，所以x0＝＝3. 答案：3 7．过点F(1,0)且与直线l：x＝－1相切的动圆圆心的轨迹方程是_____． 解析：设动圆圆心为C(x，y)，则|FC|＝d，即点C的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴轨迹方程是y2＝4x. 答案：y2＝4x 8．类似于抛物线的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m后，则水面宽是_____m. 解析：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，将A(2，－2)代入方程得m＝－2，∴x2＝－2y，将yB＝－3代入得xB＝，∴水面宽是2xB＝2. 答案：2 二、解答题 9．若抛物线通过直线y＝x与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程． 解：由得，或， 根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)， 则(－，－)在抛物线上，∴m＝，p＝， ∴方程为x2＝－y或y2＝－x. 10．已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值． 解：将x＝12代入x2＝4y，得y＝36>6，所以点A在抛物线外部．抛物线焦点为F(0,1)，准线l：y＝－1.如图所示，过P点作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1. 由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|最小，所以|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13，故|PA|＋|PC|的最小值为12. 11．如图所示，在△ABC中，⊥，＝(0，－2)，点M在y轴上，且＝(＋)，点C在x轴上运动，求点B的轨迹E的方程． 解：设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)(x0≠0)． ∵⊥，∴∠ACB ... ...