2.4.2 抛物线 同步测试 （苏教版选修1-1）

2.4.2 抛物线 同步测试 1．(2011年高考辽宁卷改编)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为_____． 解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴线段AB的中点到y轴的距离为＝. 答案： 2．抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，若其准线经过椭圆4x2＋9y2＝36的右焦点，则该抛物线方程为_____． 解析：已知椭圆方程可化为＋＝1，其中c＝＝，故抛物线的准线为直线x＝，所以抛物线方程为y2＝－4x. 答案：y2＝－4x 3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是_____． 解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，而焦点为F(，0)．故所求点坐标为(，±)． 答案：(，±) 4．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有_____条． 解析：如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线． 答案：3 一、填空题 1．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是_____． 解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，因此·＝x1x2＋y1y2＝y·y＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0，故∠AOB＝90°. 答案：90° 2．M为抛物线x2＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是_____． 解析：如图所示，设C为线段MF的中点， 即C为圆的圆心，过C作CC′⊥x轴， 过M作MM′⊥x轴，则|CC′|＝ (|MM′|＋|OF|)＝＝ |MF|， ∴该圆与x轴相切． 答案：相切 3．若抛物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为抛物线的顶点，则下列说法正确的是_____． ①通径长为8，△AOB的面积为4； ②通径长为8，△AOB的面积为2； ③通径长为4，△AOB的面积为4； ④通径长为4，△AOB的面积为2. 解析：由题意知|AB|＝2p＝4，∴S△AOB＝×4×1＝2. 答案：④ 4．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝4，则|PQ|的最小值为_____． 解析：圆心C(3,0)，半径r＝2.设P(x，y)，则|PC|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝2＋≥，∴|PQ|min＝－2. 答案：－2 5．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝_____. 解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则两式相减得＝＝2. 又∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 答案：2 6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是_____． 解析：显然x1>0，x2>0.又y＝4x1，y＝4x2，所以y＋y＝4(x1＋x2)≥8，当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以y＋y的最小值为32. 答案：32 7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为_____． 解析：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|， 又2|BF|＝|BC|， ∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6， ∴|AF|＋|FC|＝|AF|＋3|BF|＝6， ∴|BF|＝1，|AB|＝＝4， 2p＝4sin260°＝3，抛物线方程为y2＝3x. 答案：y2＝3x 8．已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为_____． 解析：如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|. ∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3. ∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， ∴m＝2或m＝－2. ∴A(3,2)．∴|OA|＝|OB|＝. ∴△OAB的周长为2＋4. 答案：2＋4 二、解答题 9．顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝5，求抛物线的方程． 解：设抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，点A的坐标为(x1， ... ...