第3节 随机事件与概率 1.理解样本点和有限样本空间的含义. 2.理解随机事件与样本点的关系. 3.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 4.掌握随机事件概率的运算法则. 5.会用频率估计概率. 1.有限样本空间与随机事件 (1)随机试验 对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示. (2)有限样本空间 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. (3)随机事件、必然事件、不可能事件 ①一般地,随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,把样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件,随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示. ②Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,称Ω为必然事件. ③空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,称为不可能事件. 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,则称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B) 相等关系 特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等 A=B 并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B) 交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B= 对立事件 如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=,那么称事件A与事件B互为对立 A∪B=Ω,且A∩B= 互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.两个事件互为对立事件的前提是互斥事件. 3.概率的基本性质 (1)性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0. (2)性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1, P()=0. (3)性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). (4)性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A), P(A)=1-P(B). (5)性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B). (6)性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B). 概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=,即事件A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0. 4.频率的稳定性 (1)在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性. (2)一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 1.下列说法正确的是( D ) A.某厂一批产品的次品率为5%,则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品 B.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨 C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就一定能治愈 D.掷一枚质地均匀的硬币,连续出现5次正面向上,第6次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50% 解析:掷一枚硬币,每次抛掷所出现的可能性都相等且互不影响,因此D正确. ... ...
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