第4节 古典概型与事件的相互独立性 1.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率. 2.结合古典概型,了解两个事件独立性的含义. 3.能利用事件的独立性解决一些实际问题. 1.古典概型的特点及概率计算公式 (1)古典概型的特点:①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等. (2)古典概型的计算公式:一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则P(A)==, 其中,n(A)与n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 一次试验只能出现一个结果,即产生一个样本点,任意两个样本点都是互斥的. 2.事件的相互独立性 (1)相互独立的定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. (2)相互独立的性质:①如果事件A与事件B相互独立,则A与,与B,与都相互独立. ②若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). 相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 1.(必修第二册P235例8改编)把一颗质地均匀的骰子抛掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,2),则向量m与向量n不共线的概率是( B ) A. B. C. D. 解析:若向量m与n共线,则2a-b=0,而(a,b)的可能性情况共有6× 6=36(种),其中符合2a=b的有(1,2),(2,4),(3,6)这3个,所以向量m与向量n共线的概率是=,从而不共线的概率是1-=.故选B. 2.(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“———和阴爻“— ———,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A ) A. B. C. D. 解析:在所有重卦中随机取一重卦,其基本事件总数n=26=64,恰有3个阳爻的基本事件数为=20,所以在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的概率P==.故选A. 3.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( B ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析:事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)=,事件丁发生的概率P(丁)==, 事件甲与事件丙同时发生的概率P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),事件甲与事件丁同时发生的概率P(甲丁)==P(甲)P(丁), 事件乙与事件丙同时发生的概率P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),事件丙与事件丁同时发生的概率P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙).故选B. 4.袋中有形状、大小都相同的4个球,其中1个白球,1个红球,2个黄球,从中一次随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为 . 解析:基本事件共有=6(种),设取出的两个球颜色不同为事件A. A包含的基本事件有+=5(种).故P(A)=. 答案: 5.五一放假,甲、乙、丙去某地旅游的概率分别是,,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去该地旅游的概率为 . 解析:记事件A为“至少有1人去该地旅游”,其对立事件为“三人都不去该地旅游”,由独立事件的概率公式可得P()=(1-)×(1-)× (1-)=,由对立事件的概率公式可得P(A)=1-P()=1-=. 答案: 古典概型概率的计算 1.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( C ) A. B. C. D. 解析:法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素) 4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别 ... ...
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