中小学教育资源及组卷应用平台 专题08 指数与指数函数 【考点总结】 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)； ②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0
0时，y>1；当x<0时，00时，01 在R上是增函数 在R上是减函数 【常用结论】 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax， 出卷网(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．21世纪教育网版权所有 3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与01时，a＝2；当00且2≠1. 答案：(0，1)∪(1，＋∞) 【考点解析】 【考点】一、指数幂的化简与求值 例1．化简·(a>0，b>0)＝_____． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝. 答案： 例2．计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝_____． 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 答案：－ 例3．化简：÷×＝_____(a>0)． 解析：原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2. 答案：a2 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 【考点】二、指数函数的图象及应用 例1、(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( ) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为_____． 【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求． (2)函数y＝|3x－1 出卷网|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．21cnjy.com 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]． 【答案】 (1)A (2)(－∞，0] 【迁移探究1】 (变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为_____． 解析： 函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示， 故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3 ... ... 
