中小学教育资源及组卷应用平台 第六讲 对数函数的图象及性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念(易错点). 2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点)． 知识点1 对数函数的概念 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点2 对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点3 反函数 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数． 题型一 对数函数的概念及应用 【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈ 出卷网R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝_____. 解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，21教育网 ∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，21cnjy.com ∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义． (2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝， f(x)＝x，所以f(8)＝8＝－3. 答案 (1)B (2)－3 规律方法 判断一个函数是对数函数的方法 【训练1】 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝_____.21·cn·jy·com 解析 由题意可知解得a＝4. 答案 4 题型二 对数型函数的定义域 【例2】 (1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为_____． (2)函数f(x)＝eq \f(1, 2x＋1 )的定义域为_____． 解析 (1)若使函数式有意义需满足条件： 取交集可得：x∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)． (2)由题意有解得x>－且x≠0，则f(x)的定义域为∪(0，＋∞)． 答案 (1)(－1,2) (2)∪(0，＋∞) 规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)． 解 (1)要使函数有意义，需满足 解得x＞2且x≠3. ∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足 解得－1＜x＜0或0＜x＜4. ∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)． 题型三 对数函数的图象问题 【例3】 (1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( ) A．(1,2) B．(2,1) C．(－2,1) D．(－1,1) (2)如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则( ) A．a4>a3>1>a2>a1>0 B．a3>a4>1>a1>a2>0 C．a2>a1>1>a4>a3>0 D．a1>a2>1>a3>a4>0 (3)作函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 解析 (1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)． (2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C 出卷网2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.21世纪教育网版权所有 答案 (1)D (2)A (3)解 第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示． 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示． 第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．2·1·c·n·j·y 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所 ... ...
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