中小学教育资源及组卷应用平台 第二讲 指数函数的图象及性质 【学习目标】 1.了解指数函数的概念(易错点). 2.会画出指数函数图象(重点). 3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点)． 知识点1 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点2 指数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 题型一 指数函数的概念及应用 【例1】 (1)给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4 (2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝_____. 解析 (1)①中，3x的系数是2，故①不是 出卷网指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． (2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125. 答案 (1)B (2)125 规律方法 判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 【训练1】 若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( ) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0且a≠1 解析 由条件知解得a＝－1. 答案 C 题型二 指数函数图象的应用 【例2】 (1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是_____．21世纪教育网版权所有 (2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象． (1)解析 因为y＝ax的图象过定点( 出卷网0,1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)．21·cn·jy·com 答案 (－1，－1) (2)解 y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2. 作函数y＝3x的图象关于y轴的对称 出卷网图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示． 规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象 出卷网过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【训练2】 (1)函数y＝2|x|的图象是( ) (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0
0 D．00，即b<0.21cnjy.com 答案 (1)B (2)D 题型三 指数型函数的定义域、值域问题 【例3】 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( ) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为_____． (3)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为_____． 解析 (1)由题意得自变量x应满足解得－3
