中小学教育资源及组卷应用平台 第三讲 几类不同增长的函数模型 【学习目标】 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2-1-c-n-j-y 2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点)． 知识点 三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 随n值而不同 增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax 题型一 几类函数模型的增长差异 【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A．y＝2 017x B．y＝x2 017 C．y＝log2 017x D．y＝2 017x (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是_____． 解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A． (2)以爆炸式增长的变量呈指数函 出卷网数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．21世纪教育网版权所有 答案 (1)A (2)y2 规律方法 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：能用 出卷网指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：能用对数型函数 出卷网f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．21教育网 (4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定．21·cn·jy·com 【训练1】 下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( ) A．y＝ex B．y＝100 ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x 解析 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A． 答案 A 题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(10)， 出卷网所以1x2，从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 011)>g(2 011)．又因为g(2 011)>g(6)，所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)． 【迁移1】 (变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？ 解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.2·1·c·n·j·y 【迁移2】 (变换所求)本例条件不变，例 出卷网2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015) ... ...
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