中小学教育资源及组卷应用平台 第六讲 对数函数的图象及性质 一、选择题 1．已知下列函数：①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．21世纪教育网版权所有 其中为对数函数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 对于①，自变量是－x，故① 出卷网不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A. 【答案】 A 2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点( ) A．(1,1) B．(1,0) C．(2,1) D．(2,0) 【解析】 ∵函数y＝logx恒过定点(1,0)，而y＝1＋log(x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y＝1＋log(x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C. 【答案】 C 3．函数y＝的定义域为( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3， 所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C. 【答案】 C 4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( ) 【解析】 函数y＝ax与y＝lo 出卷网gax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得D正确．故选D.21教育网 【答案】 D 5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0
0，且a≠1)， 则－3＝loga8，∴a＝， ∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－. 【答案】 － 8．已知函数y＝log2，下列说法： ①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是_____. 【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关 出卷网于原点对称，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0时，y＝0，所以③正确． 【答案】 ①③ 三、解答题 9．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 【解】 (1)要使函数有意义，则有>0，即或解得x>1或x<－1， 此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)由于f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．21cnjy.com 【解】 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， ∴f(－x)＝lg(1－x)． 又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)， ∴f(x)的解析式为f(x)＝ ∴f(x)的大致图象如图所示． [能力提升] 1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x 【解析】 ∵对数运算律中 出卷网有logaM＋logaN＝logaMN，∴f(x)＝log2x，满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选C.21·cn·jy·com 【答案】 C 2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( ) 【解析】 由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜ ... ... 