5.2.1 基本初等函数的导数 一、 单项选择题 1 (2024海门包场中学月考)函数y＝3x在x＝2处的导数为( ) A. 9 B. 6 C. 9ln 3 D. 6ln 3 2 (2024白蒲中学月考)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则实数m的值为( ) A. －4 B. 2 C. －2 D. ±2 3 (2024衡水月考)函数f(x)＝x的图象在点(0，f(0)) 处的切线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 4 若曲线y＝x3在点A处的切线方程为12x－y＋16＝0，则点A的坐标为( ) A. (－2，－8) B. (2，8) C. (－2，8) D. (－2，－8)或(2，8) 5 (2024无锡天一中学期末)若直线y＝3ex为函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象的一条切线，则实数a的值为( ) A. e B. e3 C. 3e D. e2 6 (2024江安中学月考)下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) A. f(x)＝ex B. f(x)＝x3 C. f(x)＝ln x D. f(x)＝sin x 二、 多项选择题 7 (2024盐城中学月考)下列说法中，正确的是( ) A. 若y＝ln 2，则y′＝ B. 若f(x)＝，则f′(3)＝－ C. 若y＝2x，则y′＝2x ln 2 D. 若y＝log2x，则y′＝ 8 若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为( ) A. 0 B. 2 C. D. 三、 填空题 9 (2024广州饶平二中月考)已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(3)＝，则m＝_____． 10 (2024海门中学月考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_____． 11 一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则的值为_____． 四、 解答题 12 设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若直线l2交x轴于点Q，作PK垂直x轴于点K，求线段KQ的长． 13 (2024辛集中学月考)已知函数f(x)＝ex. (1) 求f(x)在点(2，e2)处的切线方程； (2) 若f(x)的一条切线l恰好经过坐标原点，求切线l的方程． 5.2.1 基本初等函数的导数 1. C 由题意，得y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3. 2. D 因为f′(x)＝－，所以f′(m)＝－＝－，解得m＝±2. 3. D 因为f′(x)＝x－，显然，当x＝0时，f′(x)＝x－无意义，则f(x)＝x在x＝0处的切线斜率不存在，所以倾斜角为. 4. A 因为y′＝3x2，所以3x2＝12，解得x＝2或x＝－2，所以点A的坐标为(2，8)或(－2，－8).又因为点(2，8)不在切线12x－y＋16＝0上，故舍去；点(－2，－8)在切线12x－y＋16＝0上，符合题意，故点A的坐标为(－2，－8). 5. B 设切点的坐标为(x0，ax0).因为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，所以f′(x)＝ax ln a，由导数的几何意义，得所以ax0ln a＝，即ax0ln ax0＝ax0，故ax0＝e，所以ax0ln a＝eln a＝3e，解得a＝e3. 6. D 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.对于A，(ex)′＝ex>0；对于B，(x3)′＝3x2≥0；对于C，定义域为(0，＋∞)，即(ln x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D. 7. BCD 8. AD 由曲线C1：y＝x2，得y′＝2x；由曲线C2：y＝x3，得y′＝3x2.设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2.设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3，所以2a＝3m2，且a2＝2m3，所以m＝0或m＝，所以直线l的斜率为0或 .故选AD. 9. －9 由f(x)＝，得f′(x)＝－，则f′(3)＝－.由g(x)＝mx，得g′(x)＝m，则g′(3)＝m，故m＝－9. 10. 4 因为y′＝，所以切线的方程为y－＝·(x－a).令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－a.由题意，得··a＝2，所以a＝4. 11. －1 因为f(x)＝ln x，g(x)＝ex，所以f′(x)＝，g′(x)＝ex，则y＝ln x在点P(x1，y1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，y＝ex在点Q(x2，y2)处的切线方程为y－ex2＝ex2(x－x2)，即y＝ex2x＋ex2(1－x2).因为一条直线与函数y＝ln x和y＝ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，所以则 ... ...
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