中小学教育资源及组卷应用平台 第一讲 两角差的余弦公式 【学习目标】 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 【知识总结】一、两角差的余弦公式 1．两角差的余弦公式的推导： （1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则21·cn·jy·com ( http: / / www.21cnjy.com / ) 由向量数量积的概念，有 ，结合向量数量积的坐标表示，有 所以= （*） （2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下： 由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。 ①若，则。 ②若，则，且 由以上的讨论可知，对于任意的，都有： = 2．公式的记忆 右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。 要点诠释： (1)公式中的都是任意角。 (2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。 (3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。 【知识总结】二、两角差余弦公式的逆向应用和活用 1．逆用 = 要点诠释： 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到 。 2．角变换后使用 。 3．移项运用 4．特殊化使用 5．以代 即 类型一 利用两角差的余弦公式化简求值 例1 计算： (1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝×＋×＝. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． 【针对训练】 化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( ) A. B. C．－ D．－ 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 B 解析 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45° ＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45° ＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝. 类型二 给值求值 例2 (1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)等于( )21cnjy.com A．－ B．－ C. D. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 D 解析 因为sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝， 所以(cos α－cos β)2＝，(sinα－sin β)2＝－. 两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－. 所以cos(α－β)＝. (2)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<. 又因为α－β∈，cos(α－β)＝<， 所以－<α－β<－. 所以cos α＝＝ ＝， sin(α－β)＝－＝－＝－， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. 反思与感悟 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些 出卷网角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．21教育网 (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【针对训练】已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β) ... ...
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