【数学总复习-考点精讲】RJA 第七章 第4讲　空间直线、平面的垂直

中小学教育资源及组卷应用平台 第4讲　空间直线、平面的垂直 考向预测 核心素养 直线、平面垂直的判定与性质是高考的重点，新高考对空间角的几何法求解提高了要求，考查考生的推理论证能力和计算能力，各种题型均有可能出现，题目求解可结合空间向量，中等难度． 逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算 一、知识梳理 1．直线与直线垂直 (1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b 3.平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α [提醒]　三种垂直关系的转化 常用结论 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．垂直于同一条直线的两个平面平行． 3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 二、教材衍化 1．(多选)(人A必修第二册P161 练习T2改编)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 2．(人A必修第二册P158例8改编)已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有(　　) A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 3．(人A必修第二册P152 练习T4改编)在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心． 参考答案 1解析：选BD.A项，如图①，a α，b β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错． B项，如图②，a α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B对． 　　 C项，如图③，a α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错． D项，如图④由两平面垂直的性质定理可知D正确，故选BD. 2解析： 选B.因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B. 3解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC， 即O为△ABC的外心． (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. 因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，所以PC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以PC⊥AB， 因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC 平面PGC， 所以AB⊥平面PGC，又CG 平面PGC， 所以AB⊥CG， 即CG为△ABC的边AB上的高． 同理可证BD，AH分别为△ABC的边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心． 答案：(1)外　(2)垂 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　　) (2)如果平 ... ...