广州等七地2013年中考压轴题解析汇编

广州等七地2013年中考压轴题解析汇编 【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA. （1）当OC=时，求证：CD是⊙O的切线； （2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE. ① 当D为CE中点时，求△ACE的周长； ② 连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）连接OD。 ∵AB是⊙O的直径，AB=4 ∴OA=OB=OD=2 ∴OD2=4 ∵OA=CD ∴CD=2 ∴CD2=4 ∵OC= ∴OC2=8 ∵OC2=OD2+CD2 ∴△ODC是直角三角形，且∠ODC=90° ∴OD⊥CD ∴CD是⊙O的切线 （2）① 连接OE、OD。 ∵D为CE的中点 ∴DE=CD ∵CD=OA=2，OA=OD=OE ∴DE=OD=OE=2 ∴△ODE是等边三角形 ∴∠DOE=∠ODE=60° ∵CD=OD=2 ∴∠DOC=∠OCD ∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60° ∴∠DOC=∠OCD=30° 过点D作DF⊥OC于F 则OF=CF=OD·cos∠DOC=2×= ∴OC=OF+CF=2 ∵∠DOC=30°，∠DOE=60° ∴∠AOE=90° ∴AE== ∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA =+2+2+2+2 =+2+6 ② 存在四边形AODE为梯形。 由题意知，当OD∥AE时，四边形AODE为梯形。由对称性知，存在两个这样的梯形，即在AC的上下方各一个。 ∵OD∥AE ∴∠DOC=∠EAO ∵△ODC、△AOE是等腰三角形 又OA=OE=OD=CD=2 ∴△ODC≌△AOE ∴OC=AE 设OC=AE=m(m＞)，则AC=m+2 ∵OD∥AE ∴ ∴，即m2-2m-4=0 解得m=或(舍去) ∴AE= ∵∠DOC=∠EAO=∠OCD ∴CE=AE ∴ED=CE-CD=AE-CD=-2= ∴AE·ED=()()=4 【2013·广州·25题】已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。 （1）使用a、c表示b; （2）判断点B所在象限，并说明理由； （3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C()，求当x≥1时y1的取值范围。 解：（1）∵抛物线过点A（1，0） ∴a+b+c=0 ∴b=-a-c （2）点B在第四象限。理由如下： 当y1=0时，ax2+bx+c=0 由韦达定理得，x1·x2= ∵a≠c ∴x1·x2≠1 ∵抛物线过点A（1，0） ∴1是方程的根，令x1=1 ∴x2≠1 ∴抛物线与x轴有两个交点 ∵抛物线不经过第三象限 ∴抛物线开口向上，即a＞0 ∴顶点B在第四象限 （3）∵点C在抛物线上 ∴b+8=a·()2+b·+c = = ∴b=-8 ∴a+c=8……① ∵点C在直线y2=2x+m上 ∴m=- ∵顶点B的坐标为（-，） 即B（，），且在直线y2上 ∴=-……② 由①②解方程组得： 或 ∵a≠c ∴a=2，c=6 ∴抛物线的解析式为y1=2x2-8x+6 易知A（1，0）和C（3，0）是抛物线与x轴 的交点，顶点B坐标为（2，-2） ∵抛物线开口向上 ∴当x≥1时，y1的取值范围为y1≥-2 【2013·福州·21题】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=，AD= （1）求与的函数关系式； （2）若∠APD=45°，当时，求PB PC的值； （3）若∠APD=90°，求的最小值。 解：（1）过点A作AE⊥BC于E。 ∵∠B=45°，AB=x ∴AE=AB·sin∠B=x ∵AD=y，S△APD= ∴S△APD=AD·AE=·y·x = ∴y关于x的函数关系式为y= （2）∵∠APD=45° ∴∠APB+∠DPC=135° ∵∠B=45°，AD∥BC ∴∠BAD=180°-∠B=135° ∴∠BAP+∠PAD=135° ∵AD∥BC ∴∠PAD=∠APB ∴∠BAP+∠APB=135° ∴∠BAP=∠DPC ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠B=∠C，AB=CD ∴△ABP∽△PCD ∴，即PB·PC=AB·CD ∵y=1 ∴x= ∴AB=CD= ∴PB·PC=·=2 （3）取AD的中点F，连接FP，过点P作PH⊥AD于H，则PF≥PH。 ∴当PF=PH时，PF有最小值 ∵∠APD=90°，点F为AD的中点 ∴PF=AD=y ∵PH=AE=x ∴当y=x时，PF有最小值，即y有最小值 ∵y=，即x= ∴y=·，得y2=2 ∵y＞0 ∴y=，即y的最小值为 【2013·福州·22题】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y1=ax2+bx(a≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时 ... ...