【数学总复习】RJA 第三章 第3讲　第4课时　极值点偏移问题(共36张PPT)

(课件网) 高考数学 总复习 人教A版 第4课时　极值点偏移问题 第三章　核心专题突破1　高考中的函数与导数问题 已知函数f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0. 若f(x)＝c的两根的中点刚好满足 ＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1). 若f(x)＝c的两根中点 ≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)、图(3). 01 核心考点 共研 考点　证明极值点偏移问题的常用解法(多维探究) 角度1　换元构造函数 已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2. 【证明】　不妨设x1>x2>0， 因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以 ＝a， 欲证x1x2>e2，即证ln x1＋ln x2>2. 因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)， 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)>h(1)＝ln 1－0＝0， 因此原不等式x1x2>e2得证． 角度2　对称化构造函数 已知函数f(x)＝x(1－ln x)．若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．证明：x1＋x2＞2. 【证明】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln x＋x· ＝－ln x. 当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 不妨设02，即证x2>2－x1， 因为02－x1>1， 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以即证f(x2)0， 即当00， 所以F(x)在(0，1)上单调递增， 所以当02. 对称化构造函数证明极值点偏移问题的关键 构造函数H(x)＝f(x)－f(2x0－x)，其中x0为函数f(x)的极值点，然后求导确定H(x)的单调性，结合H(x0)＝0确定H(x)的符号，再通过f(x)的单调性得到结论． |跟踪训练| (2022·蓉城名校联考)已知函数h(x)＝xe－x，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2. 证明：h′(x)＝e－x(1－x)， 令h′(x)＝0，解得x＝1， 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表． x (－∞，1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － h(x) 单调递增 单调递减 由x1≠x2，不妨设x1>x2，根据h(x1)＝h(x2)结合图象(图略)可知x1>1，x2<1. 令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)， 则F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x， 因为x≥1，2x－2≥0，所以e2x－2－1≥0， 所以F′(x)≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增， 又因为F(1)＝0，所以当x>1时，F(x)>F(1)＝0， 即当x>1时，h(x)>h(2－x)，则h(x1)>h(2－x1)， 又h(x1)＝h(x2)，所以h(x2)>h(2－x1)， 因为x1>1，所以2－x1<1，所以x2，2－x1∈(－∞，1)， 因为h(x)在(－∞，1)上单调递增， 所以x2>2－x1，所以x1＋x2>2得证． 02 课后达标 检测 [A　基础达标] 1．已知函数g(x)＝ln x＋ ＋2(其中e为自然对数的底数，a为常数)．若方程g(x)＝m(m为常数)有两个不等实根x1，x2，求证：x1＋x2>2. 证明：g′(x)＝ 当01时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 不妨设x12. 所以h(x)在(1，2)上单调递减，于是h(x)