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课件网) 空间中的垂直关系 课前回忆: 直线 //直线 直线//平面 直线⊥直线 直线⊥平面 如果两条直线相交一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角(90°),则称这两条直线互相垂直. 两条直线垂直,有相交一点的垂直; (2) 两条直线垂直还可以异面直线垂直; (就是不相交的垂直) 一.直线与直线垂直定义 1. 直线垂直平面的定义： 如果直线( AB)和一个平面(α)相交于点O, 并且和这个平面内过点(O)的任何直线都垂直,那么就说这条直线和这个平面垂直。 α O L 二．直线垂直平面 记作： L ⊥α。 直线 L 叫做平面α的垂线。 平面α叫做直线 L 的垂面。 直线 L 和平面α的交点P叫做垂足。 α P L 直线垂直平面的术语： 二、填空题： 2、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 L m α n α m ∩ n = B l ⊥ m l ⊥ n l ⊥α n m 证明： 连接BD ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD 例１、已知：正方体中，AC是面对角线， BD/. 是与AC 异面的体对角线。求证：AC⊥BD/. ∴ ⊥平面ABCD ∵正方体 A B D C ∴ ⊥AC ∵ ∩BD=D ∴AC⊥平面 ∴AC⊥ （1）如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？ 练习１、 （2）如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？ （1）垂直！先证一条直线垂直另两条（相交）。 （2）能垂直！先证一条直线垂直 三角形平面。 （3）判断下列命题的真假： ①若a⊥m，a⊥n，m α，n α，则a⊥α。 ②若a⊥α，b α，则a⊥b。 ③若a⊥α，a⊥b，则b//α。 ④线段AB的垂直平分面内任意一点到A、B的 距离均相等。 ⑤若a垂直于平面α内的无数条直线，则a⊥α。 ⑥若a⊥α于A，AB⊥a，则AB α。 ⑦若a//α，b⊥a，则b⊥α。 如果一条直线垂直于一个平面， 那么它就和平面内任何一条直线都垂直。 3、直线与平面垂直的性质 格式： 例题2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 a b 已知：a , a‖b. 求证：b . m 证明： 设m是 内的任意一条直线。 a m b a‖b a m m b m 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质 练习2、如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线互相平行。 a b a‖b a b C o 例题3、设 是任意平面，点p是空间任一点。则： 过p有且只有一条直线 与 垂直。 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。 α P l P 常用结论（1） 设 是任一直线，点p是空间任一点。 则： 过点p有且只有一个平面 垂直 。 α P l P 常用结论（2） 练习3、如果一条直线a在投射面上的正投 影 a/垂直于投射面上的一条直线 b，那么这条直线 a和投射面上直线 b垂直。 a a/ b 例题4、 有一根旗杆AB 高 8m，它的顶点 A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点 C , D ( 和旗杆脚不在同一直线上),如果这两点都和旗脚 B的距离是 6m,那么旗杆为什么和地面是垂直的 （ 课本P50-例题2） α A D C B 练习4、四棱锥P-ABCD 的底面是矩形, PA⊥平面 AC， 且有AD=2, AB= , 确定点M在线段 BC上 什么位置时PM ⊥MD。 P A B M C D 答：点M距离点B为 直线⊥直线 <===>直线⊥平面 线//线 线//面 面//面 线⊥线 线⊥面 面⊥面 ... ...
