(
课件网) 第3讲 平面向量的数量积 考点梳理 1．两个向量的夹角 同向 反向 a⊥b 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|·cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作 _____. 规定：零向量与任一向量的数量积为___. 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_____的乘积． 2．平面向量的数量积 3．平面向量数量积的几何意义 a·b＝|a||b|·cos θ |b|cos θ 0 (1)e·a＝a·e＝_____； (2)非零向量a，b，a⊥b _____； 4．平面向量数量积的重要性质 |a|cos θ a·b＝0 |a|2 ≤ (1)a·b＝_____(交换律)； (2)(λa)·b＝_____＝_____＝_____(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝_____. 5．平面向量数量积满足的运算律 b·a λ(a·b) a·(λb) λa·b a·c＋b·c 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____，由此得到 x1x2＋y1y2＝0 x1x2＋y1y2 6．平面向量数量积有关性质的坐标表示 x2＋y2 对于数量积的复习应重视以下几个方面 (1)由于几何意义和坐标意义是平面向量的两个最本质特征，所以平面向量的数量积常结合平面向量基本定理考查这两个特征． (2)认真理解数量积的定义及其几何意义，理解投影的概念及其实质，对于数量积的坐标表示，要注意与两向量共线表示的区别．求两向量的数量积，包括定义法和坐标法两种形式． 【助学·微博】 (3)明确运用数量积可以解决的问题，如求长度(范围)、求夹角、解决垂直问题等，并重视数量积在三角函数、解析几何等知识中的应用． (4)题型主要以填空题为主，属容易题，预计今后高考对数量积的考查仍将是考查的重点和热点． 答案 4 考点自测 2．(2012·扬州第二次调研)已知单位向量a，b的夹角为 120°，那么|2a－xb|(x∈R)的最小值是_____． 答案 －4 4．(2012·苏锡常镇联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影为_____． 答案 －8 考向一 向量的数量积 答案 24 [方法总结] 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． (2)(2012·盐城市二模)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是_____． 考向二 利用平面向量数量积求夹角与模 【训练2】 (2011·扬州调研)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为_____． 所以a⊥c，即a与c的夹角为90°. 答案 90° 【例3】 (2012·无锡期末考试)已知△ABC的角A、B、C所 对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B， sin A)，p＝(b－2，a－2)． 考向三 利用数量积解决向量平行、垂直问题 (2)解 由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab.由余弦定理可知， 4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab. 即(ab)2－3ab－4＝0. ∴ab＝4(ab＝－1舍去)． [方法总结] 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是利用向量的坐标形式求数量积；另一种方法是利用向量数量积的计算公式求数量积． (2)(2011·辽宁卷改编)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为_____． 考向四 平面向量数量积坐标表示及应用 答案 (1)6 (2)1 [方法总结] 建立直角坐标系，用向量的坐标运算求解有关问题，多数情况下较为方便． 答案 5 近几年高考对平面向量的考查突出了“创新性”与“灵活性”，其实质可以归源于平面向量的几何特征和代数特征．通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表 ... ...
