证明三角形全等的常见思路 全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习．而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等．通过对以下几种证明三角形全的分析，体会常见思路。 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，（对应线段相等）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2．证题的思路： 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 一、已知一边与其一邻角对应相等 1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等． 例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C . 求证：AF=DE． 证明 ∵BE=CF(已知)，∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE． 在△ABF和△DCE中， ∴ △ABF≌△DCE(SAS)． ∴ AF=DE(全等三角形对应边相等)． 2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等． 例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB． 求证：AE=CE． 证明∵ FC∥AB(已知)， ∴∠ADE=∠CFE(两直线平行，内错角相等)． 在△ADE和△CFE中， ∴ △ADE≌△CFE(ASA). ∴ AE=CE(全等三角形对应边相等) 3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等． 例3 (同例2). 证明 ∵ FC∥AB(已知)， ∴ ∠A=∠ECF(两直线平行，内错角相等). 在△ADE和△CFE中， ∴ △ADE≌△CFE(AAS). ∴ AE=CE(全等三角形对应边相等)． 二、已知两边对应相等 1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等． 例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2．求证： △ABD≌△ACE 证明 ∵∠1=∠2(已知)， ∠ADB=180°-∠1， ∠AEC=180°-∠2(邻补角定义)， ∴∠ADB = ∠AEC， 在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE(SAS). 2．证第三边对应相等，再用SSS证全等． 例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN．求证： AM∥CN，BM∥DN． 证明 ∵ AC=BD(已知) ∴AC+BC=BD+BC，即 AB=CD. 在△ABM和△CDN中， ∴ △ABM≌△CDN(SSS) ∴ ∠A=∠NCD，∠ABM=∠D(全等三角应角相等)， ∴ AM∥CN，BM∥DN(同位角相等，两直线平行)． 三、已知两角对应相等 1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等． 例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE. 求证： AB=DE， AC=DF. 证明 ∵ FB=CE(已知) ∴ FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF， ∴ △ABC≌△DEF(ASA). ∴ AB=DE，AC=DF(全等三角形对应边相等) 2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等． 例7 已知：如图6，AB、CD交于点O， E、F为AB上两点 ... ...
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