[利用勾股定理计算、作图] 一、选择题 1.把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的 ( ) A.16倍 B.8倍 C.4倍 D.2倍 2.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于 ( ) A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 3.如图,A,B是数轴上两点,过点B作BC垂直于数轴,AB=3,BC=2,以点A为圆心,以AC为半径作弧交数轴于点P.若点P表示的数是-2,则点A表示的数是 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 二、填空题 4.如图,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为 . 5.把两个同样大小含45°角的三角尺按所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD= . 6.(2020苏州)如图,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点,则EC= . 三、解答题 7.尺规作图:在数轴上作出表示的点. 作法: ①如图,在数轴上点A,B,C分别表示-2,-1,0,分别以点A,B为圆心,AB为半径画弧,两弧交于点D; ②连接CD,以点C为圆心,CD为半径画弧,交数轴正半轴于点P,则点P表示的数就是无理数. (1)判断△ACD的形状,并说明理由; (2)说明点P表示的数就是无理数的理由. [分类讨论] 有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m的直角边为一边的直角三角形,则扩充后等腰三角形绿地的周长为 . 答案 1.D 2.A ∵点P的坐标为(-2,3), ∴OP==. ∵点A,P均在以点O为圆心,以OP为半径的圆上,∴OA=OP=. ∵9<13<16,∴3<<4. 又∵点A在x轴的负半轴上, ∴点A的横坐标介于-4和-3之间. 故选A. 3.B ∵在Rt△ABC中,AB=3,BC=2, ∴AC==, ∴AP=AC=. ∵点P表示的数是-2, ∴点A表示的数是-2-=-2. 4.(1,) 过点B作OA的垂线,垂足为D,则OD=OA=1,∴BD==,故点B的坐标为(1,). 5.- 在等腰直角三角形ABC中, ∵AB=2,∴BC=2. 如图,过点A作AM⊥BD于点M,则△ABM和△ACM都是等腰直角三角形, 则AM=MC=BM=BC=. 在Rt△AMD中,AD=BC=2,AM=, ∴MD=,∴CD=MD-MC=-. 6.1 设AE=ED=x,CD=y,则BD=2y. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD中, AB2=AD2+BD2=4x2+4y2. ∵AB=2,∴x2+y2=1. 在Rt△CDE中,EC2=CD2+ED2=x2+y2=1, ∴EC=1. 7.解:(1)△ACD是直角三角形. 理由:由题意可得AD=AB=BD=BC=1, ∴△ABD是等边三角形,∠BDC=∠BCD, ∴∠DAB=∠DBA=60°. ∵∠DBA=∠BDC+∠BCD, ∴∠BCD=30°, ∴∠ADC=180°-∠DAB-∠BCD=90°, ∴△ACD是直角三角形. (2)∵△ACD是直角三角形,AD=1,AC=2,∠ADC=90°, ∴CD===. ∵CD=CP,∴CP=. ∵在数轴上,点C表示的数为0, ∴点P表示的数就是无理数. [素养提升] 32 m或(20+4)m或 m 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8 m,BC=6 m. 由勾股定理,得AB=10 m. 扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰三角形ABD,应分以下三种情况. (1)如图甲所示,若AD=AB=10 m, 可求得CD=BC=6 m. 此时△ABD的周长为32 m. (2)如图乙所示,若BD=AB=10 m, 可求得CD=4 m,由勾股定理,得AD=4 m. 此时△ABD的周长为m. (3)如图丙所示,若AD=BD,设AD=BD=x m,则CD=(x-6)m. 由勾股定理,得x2=82+(x-6)2,解得x=. 此时△ABD的周长为 m. 综上可知,扩充后等腰三角形绿地的周长为32 m或(20+4)m或 m. [点评] 在涉及等腰三角形的问题中,往往需要分类讨论求解,否则容易漏解. ... ...
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