[菱形的判定] 一、选择题 1.如图,B,C分别是锐角∠A两边上的点,AB=AC,分别以点B,C为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接BD,CD.则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( ) A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线平分一组对角的四边形是菱形 2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,那么下列条件中,能判定平行四边形ABCD是菱形的为 ( ) A.AO=CO B.AO=BO C.∠AOB=90° D.∠BAD=∠ABC 3.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则下列命题中是假命题的是 ( ) A.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是菱形 B.若BO=2AO,则平行四边形ABCD是菱形 C.若AB=AD,则平行四边形ABCD是菱形 D.若∠ABD=∠CBD,则平行四边形ABCD是菱形 4.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.一般的四边形 D.平行四边形 5.甲、乙、丙、丁四名同学从中入口处进入,最后到达的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.如图,ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两名同学的作法如图下: 则关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为 ( ) A.仅甲正确 B.仅乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 二、填空题 7.如图,在平行四边形ABCD中, ∵∠1=∠2,∴BC=DC, ∴平行四边形ABCD是菱形( ). 8.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,BC=a,AC=4,AB=.要使平行四边形ADCE是菱形,a的值应是 . 三、解答题 9.如图,已知在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连接DF,EF,BF. (1)求证:四边形BEFD是平行四边形; (2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形BEFD的周长. 10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF垂直平分AD交AB于点E,交AC于点F,连接DE,DF. 求证:四边形AEDF是菱形. 11.(2020滨州)如图,过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线,分别交边AB,BC,CD,DA于点P,M,Q,N. (1)求证:△PBE≌△QDE; (2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形. 如图①,在矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,折叠纸片使点B落在边AD上的点E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF. (1)求证:四边形BFEP为菱形; (2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动,当点Q与点C重合时(如图②),求菱形BFEP的边长. 答案 1.B 2.C 3.B 4.B 5.D ∵一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,∴最后到达的是丁. 6.C 甲的作法正确.理由:如图①. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB. ∵EF是AC的垂直平分线, ∴AO=CO. 又∵∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA), ∴AE=CF. 又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形. 乙的作法正确.理由:如图②. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠1=∠2,∠6=∠4. ∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD, ∴∠2=∠3,∠5=∠6, ∴∠1=∠3,∠5=∠4, ∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE. 又∵AF∥BE, ∴四边形ABEF是平行四边形. 又∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形. 7.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 8. 如图,连接DE交AC于点O, 则当 ADCE是菱形时,AC⊥DE. ∵四边形ADCE是平行四边形, ∴OA=OC,AE∥CD,AE=CD. ∵AD是△ABC的中线, ∴BD=CD,∴AE=BD. 又∵AE∥BD, ∴四边形ABDE是平行四边形, ∴DE=AB=,∴DO=. 又∵AC=4,∴CO=2, ∴在Rt△COD中,CD==, ∴BC=2CD=,即a=. 9.解:(1)证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点, ∴DF,EF均是△ABC的中位线, ∴DF∥BC,EF∥AB, ∴四边形BEFD是平行四边形. (2)∵∠AFB=9 ... ...
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