第4节 复 数 [课标要求] (1)复数的概念：①通过方程的解，认识复数；②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义； (2)复数的运算：掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 备考第1步———梳理教材基础，落实必备知识 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． (2)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数相等 a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a＝c且b＝d，即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等． 特别地，a，b∈R, a＋bi＝0 a＝0，b＝0． (4)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)． (5)共轭复数 实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．复数的分类 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．即复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 有序实数对(a，b) 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． (2)复数z＝a＋bi一一对应平面向量，这是复数的另一种几何意义． 4．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R． (2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边 形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2， ＝OZ1＋OZ2， Z1Z2＝OZ2－OZ1． (3)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (一)必背常用结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i． (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n． (5)复数z的方程在复平面上表示的图形 ①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； ②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． (二)盘点易错易混 1．判定一个复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但两个复数都为实数时，则可以比较大小． 3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立． 【小题热身】 1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝( ) A．2＋i B．2－i C．1－i D．1＋i 解析：由题意可得z＝＝＝＝1＋i． 答案：D 2．已知复数＝4－bi，a，b∈R，则a＋b＝( ) A．2 B．－2 C．4 D．6 解析：因为＝4－bi，所以2＋ai＝i，所以2＋ai＝b＋4i，所以所以a＋b＝6． 答案：D 3．已知复数z满足z·i＝1＋i，，则z在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由z·i＝1＋i，，得z＝＝＝1－i， 所以复数z在复平面内对应的点为(1，－1)，所以对应点位于第四象限． 答案：D 4．若复数z＝，则＝( ) A． B．2 C． D． 解析：z＝＝＝＝2＋i，|z|＝＝． 答案：D 5．已知复数z＝＋，则z的共轭复数＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1 ... ...
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