第6节 抛物线 [课标要求] ①了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用；②了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质；③通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；④了解抛物线的简单应用． 备考第1步———梳理教材基础，落实必备知识 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0， y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ (一)必背常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． (7)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦． (8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： S△AOB＝＝|AB|·|d|＝|OF|·|y1－y2|． (二)盘点易错易混 1．应用抛物线定义时，一定要注意定点F不能在定直线l上，否则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线． 2．抛物线的标准方程有四种形式，要判断焦点位置，牢记方程形式． 3．理解抛物线标准方程中参数p的几何意义，熟记焦点坐标和准线方程中数值与p的关系． 4．直线与抛物线相切，有且只有一个交点；但直线与抛物线只有一个交点时，却不一定相切．如一条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线相交，此时只有一个交点． 【小题热身】 1．[易错题]抛物线y＝－x2的焦点坐标为( ) A． B． C． D． 解析：∵y＝－x2，∴x2＝－16y， 因此焦点坐标为． 答案：D 2．已知点在抛物线C：y2＝2px上，则C的焦点到其准线的距离为( ) A． B． C．1 D．2 解析：由点在抛物线上，易知1＝2p，p＝，故焦点到其准线的距离为． 答案：B 3．若抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，且过点(2，1)，则C的标准方程是_____． 解析：因为抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，故设抛物线方程为x2＝my， 又抛物线过点(2，1)，所以22＝m，即m＝4，所以抛物线方程为x2＝4y． 答案：x2＝4y 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝_____． 解析：抛物线y2＝4x中，p＝2，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)， 故根据抛物线定义可知＝＋＝＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8． 答案：8 5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_____． 解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意， 故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程， 消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1． 答案：[－1，1] 备考第2步———突破核心考点，提升关键能力 考点1__抛物线的定义及应用[典例引领] 【例1】 (1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为( ) A．2 B．4 C．3 D．5 (2)已知抛物线y2＝4x，P是抛物线上任意一点，则P到直线l：x＝－1的距离与P到直线3x＋4y ... ...
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