微专题2 函数单调性、奇偶性、周期性 讲义（Word版含答案）

微专题2. 函数单调性，奇偶性，周期性 设计目标. 本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知， 函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标： 1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力. 2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果. 二．知识回顾 1.函数的单调性定义 2.判断或证明函数单调性的常见方法 3.单调性的常见应用 4. 函数奇偶性定义 5.判断或证明函数奇偶性的常见方法 奇偶性常见应用 三．微专题探究 2.1.奇偶性与单调性综合问题. 例1. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例1.解析∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<， 又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.故选：A. 例2解析：由题得，所以函数是奇函数， 因为，所以是上的增函数，所以， 所以.故选：A 练习1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ） A． B． C． D． 故选：A. 2.2函数的对称性. 函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质. 1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称. 代数表示: (1). (2). 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称. 一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称. 特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等. 2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：(1). (2). 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称. 特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反. 3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质. (1).利用对称性求得函数在某点的函数值. (2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象. (3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同. 2.3.对称性的应用 2.3.1对称性与单调性 例3.在上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（ ） A．在区间上是增函数，在区间上是减函数 B．在区间上是增函数，在区间上是增函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 例3解析：由可得，所以的对称轴为， 因为函数是偶函数，所以， 由可得：， 所以，所以是周期为的周期函数， 若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数， 根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故选：A. 2.3.2 已知对称性求解析式 例4.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于 A．4 B．5 C．6 D．12 例4解析：因为为奇函数，所以图像关于对称， 所以函数的图像关于对称，即 当时，， 所以当时， 当时，可得 当时，可得 所以的所有根之和为 故选A 2.3.3 对称函数的图象性质 例5.已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则( ) A. B. C. D. 结论1.若的图像关于直线对称.设 . 例8.已知函数满足,若函数与图像的交点 ... ...