2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题15：动态几何之其它存在性问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题15：动态几何之其它存在性问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 19. （2013年四川达州12分）如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。 （1）求证：CD是⊙M的切线； （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）证明：连接CM， ∵OA 为⊙M直径，∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。 ∵D为OB中点，∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。 ∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC。 ∴。 又∵点C在⊙M上，∴DC是⊙M的切线。 （2）∵A点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt△ACO中，。 ∴，∴，解得 。 又∵D为OB中点，∴。∴D点坐标为（0，)。 连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b，则有 解得。 ∴直线AD为。 ∵二次函数的图象过M（，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=。 ∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P， ∴PD+PM为最小。 又∵DM为定长，∴满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点。 当x=时，。 ∴P点的坐标为（，）。 （3）存在。 ∵， 又由（2）知D（0，)，P（，）， ∴由，得，解得yQ=±。 ∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为， 又∵该图象过点D（0，)，∴，解得a=。 ∴二次函数解析式为。 又∵Q点在抛物线上，且yQ=±。 ∴当yQ=时，，解得x=或x= ； 当yQ=时，，解得x=。 ∴点Q的坐标为（，)，或（，)，或（，）。 20. （2013年四川德阳14分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为(0，6)，将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上），使C点落在DA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上． （1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式； （2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B,H, D三点，求抛物线解析式； （3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B, D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC 和 BD于点N, M，是否存在这样的点P，使如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE。 又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE。 又∵四边形OCBA为矩形，∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。 在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD。 ∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，∴OD=2，D（0，2）。∴CD=4。 在Rt△CDB中，BC=CD?tan60°=4，∴B（4，6）。 设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意得：，解得。 ∴直线BD的解析式为：。 （2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE． 由（1）易得：OE=2，∴FE=AE=2。 ∴FG=3，GE=。∴OG=。 ∵H是FG的中点，∴H（，）。 ∵抛物线经过B、H、D三点， ∴，解得。 ∴抛物线解析式为。 （3）存在。 ∵P在抛物线上，∴设P（x，），M（x，），N（x，6）。 ∵S△BNM=S△BPM，∴PM=MN．即：。 整理得：，解得：x=2或x=4。 当x=2时，； 当x=4时，，与点B重合，不符合题意，舍去。 ∴P（2，2）。 ∴存在点P，使S△BNM=S△BPM，点P的坐标为（2，2）。 【考点】二次函数综合题，折叠和单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等高三角 ... ...