2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题18：动态几何之最值问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题18：动态几何之最值问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 6. （2013年四川德阳3分）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是【 】 A．5　　　　B．　　 C．　　 D． 【答案】D。 【考点】单动点问题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。 在Rt△ABC和Rt△PCQ中，∵∠ACB=∠PCQ =90°，∠CAB=∠CPQ， ∴△ABC∽△PQC。 ∴，即。 ∵tan∠ABC＝。∴。 ∵点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC，∴PC最大时，CQ取到最大值。 ∴易知，当PC经过圆心，即PC为圆O的直径时，PC最大。 ∵圆O半径为，∴PC的最大值为10。 ∴CQ的最大值。故选D。 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 7. （ 2013年广西钦州3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　 ▲ 　． 【答案】10。 【考点】正方形的性质，轴对称的应用（最短路线问题），勾股定理。 【分析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。 ∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称。 ∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。 ∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8。∴。 ∴PB+PE的最小值是10。 8. （ 2013年广西河池3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF。则AF的最小值是　 ▲ 　。 【答案】5。 【考点】双动点问题，正方形的性质，由实际问题列函数关系式，相似三角形的判定和性质，二次函数最值，勾股定理。 【分析】根据题意，要求AF的最小值，只要CF最大即可。 设BE=x，CF=y，则由正方形ABCD的边长为4，得CE=。 ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°。 ∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。 ∴，即。∴。 9. （2013年辽宁沈阳4分）已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是　 ▲ 　． 【答案】1；7。 【考点】等边三角形的判定和性质，平行线之间的距离，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2， 当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离。 根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形， ∴。 ∵等边三角形ABC的高为4，∴BC= ∴DE=DB+BC+CE=， FG=BC﹣BF﹣CG=， ∴NH=FG=1，MQ=DE=7。 ∴点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7。 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 14. （2013年四川达州12分）如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。 （1）求证：CD是⊙M的切线； （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）证明：连接CM， ∵OA 为⊙M直径，∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。 ∵D为OB中点，∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。 ∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC。 ∴。 又∵点C在⊙M上，∴DC是⊙M的切线。 （2）∵A点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt△ACO中，。 ∴，∴，解得 。 又∵D为OB中点，∴。∴D点坐标为（0， ... ...