2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题2：静态几何之三角形问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题2：静态几何之三角形问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 13. （2013年四川眉山3分）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2， 其中正确的有【 】个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C。 【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°． 在△AED与△AEF中，∵，∴△AED≌△AEF（SAS）。①正确。 ②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°。 ∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等。 ∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等。 ∴△ABE与△ACD不一定相似。②错误。 ③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF。 在△ACD与△ABF中，∵，∴△ACD≌△ABF（SAS）。∴CD=BF。 14. （2013年四川遂宁4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是【 】 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D。 【考点】作图（基本作图），角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质。 【分析】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线。故①正确。 ②如图，∵在△ABC中，∠C=900，∠B=300，∴∠CAB=600。 又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=300， ∴∠3=900﹣∠2=600，即∠ADC=600。故②正确。 ③∵∠1=∠B=300，∴AD=BD。∴点D在AB的中垂线上。故③正确。 ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=300，∴CD=AD。 ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD。 ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD。 ∴S△DAC：S△ABC。故④正确。 综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个。故选D。　 15. （2013年四川泸州2分）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP?OC． 其中正确的结论有【　　】 A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个 【答案】C。 【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】结论（1）错误。理由如下： 图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE： 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC。 ∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE。 在△AOD与△COE中，∵，∴△AOD≌△COE（ASA）。 同理可证：△COD≌△BOE。 结论（2）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE。 ∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC， 即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍。 结论（3）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴CE=AD。∴CD+CE=CD+AD=AC=OA。 结论（4）正确。理由如下： ∵△AOD≌△COE，∴AD=CE。 ∵△COD≌△BOE，∴BE=CD。 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2。 ∵△AOD≌△COE，∴OD=OE。 又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形。∴DE2=2OE2，∠DEO ... ...