19.8直角三角形的性质 一、单选题 1．如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（ ） A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km 2．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（ ） A．9 B．6 C．7 D．5 3．如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（ ） A． B． C． D． 4．如图，，交于点C，于D，若，则等于（ ） A．3 B．2 C．1.5 D．1 5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（ ） A． B． C． D．2 6．如图，在等边ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（ ）． A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．如图，四边形ABCD中，BD交AC于点E，CN⊥BD于点N，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，则①∠CAD＝2∠CBD；②∠BCD＝135°；③若∠ABC＝60°，则CE＝2EN；④若∠ABC＝60°，则ED＝2NC，以上结论正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（ ） A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024 二、填空题 11．在直角三角形中，斜边及其中线之和为9，则该三角形的斜边长为_____． 12．若直角三角形的两个锐角的比是2：7，则这个直角三角形的较大的锐角是_____度． 13．一个直角三角形房梁如图所示，其中，，，，垂足为，那么_____． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为_____． 15．如图，在等边中，E、F分别为CB、AB边上的点，且，连接AE，CF，两条线段交于点N，做，交CF于点M，若，，那么_____． 三、解答题 16．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=AB． 17．已知：如图，，，AD是BC上的高线，CE是AB边上的中线，于G． （1）若，求线段AC的长； （2）求证：． 18．已知：如图，中，与的平分线交于点D，过点D的BC的平行线分别交AB于E，交BC于F． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 参考答案 1．D 【解析】 根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，即可求出CM． 【解答】 解：∵公路AC，BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∵M为AB的中点， ∴CM＝AB， ∵AB＝6km， ∴CM＝3km， 即M，C两点间的距离为3km， 故选：D． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．A 【分析】 根据角平分线上点到角两边的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可． 【解析】 解：平分，且，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 3．B 【分 ... ...
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