19 立体几何中的轨迹问题(Word解析版)

19 立体几何中轨迹问题 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】由动点保持平行求轨迹 1 【题型二】由动点保持垂直求轨迹 4 【题型三】由动点保持等距（或定长）求轨迹 9 【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹 12 【题型五】投影求轨迹 16 【题型七】翻折与动点求轨迹 19 二、最新模考题组练 22 【题型一】由动点保持平行性求轨迹 【典例分析】 如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　） A．a B．a C． D． 【答案】D 【分析】 连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项. 【详解】 解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点， 则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD， 又，∴面A1BD∥面GHN， 又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD， 则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a. 故选：D. 【提分秘籍】 基本规律 1.线面平行转化为面面平行得轨迹 2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹 【变式演练】 1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ） A．三角形边界的一部分 B．一个点 C．线段的一部分 D．圆的一部分 【答案】C 【分析】 过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论． 【详解】 如图，过作交于，连接， ，平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面）， 故选：C． 2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件得出，可得出、所满足的等式，求出点的轨迹与线段、的交点坐标，即可求得结果. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， ，，设平面的法向量为， 由，取，可得， ，由题意可知，平面，则， 令，可得；令，可得. 所以，点的轨迹交线段于点，交线段的中点， 所以，点的轨迹长度为. 故选：B. 3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】 由分别取棱 的中点M N，连接MN，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度． 【详解】 如图所示，分别取棱 的中点M N，连接MN，连接， ∵M N E F为所在棱的中点，∴，，∴， 又平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF， 连接NF，由，，，，可得，，则四边形ANFB为平行四边形，则， 而平面BDEF，平面BDEF，则平面BDEF. 又，∴平面平面BDEF. 又P是上底面内一点，且平面BDEF， ∴P点在线段MN上.又，∴P点的轨迹长为. 【题型二】动点保持垂直性求轨迹 【典例分析】 在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ） A．点 B．线段 C．线段 D．平面 【答案】B 【分析】 如图，连接,证明,又，即得解. 【详解】 如图，连接, 因为平面,所以平面, 又平面, 所以,又.所以点在线段上.故选：B 【提分秘籍】 基本规律 1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹 2.利用空间坐标运算求轨迹 3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹 【变式演练】 1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为（ ） A． ... ...