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课件网) §3.1 空间直角坐标系 聚焦知识目标 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 （2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 数学核心素养 数学抽象 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 数学抽象 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. 环节一 空间直角坐标系 坐标系的构成要素 日常生活中，经常需要确定空间物体的位置，如一架飞机在空中的位置，一艘潜艇在海 洋中的位置等，那么如何确定空间中任意一点的位置呢 坐标系的构成要素 我们知道，在数轴上，一个实数就能确定一点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一点的位置.类似地，为了确定空间中任意一点的位置，可以建立空间直角坐标系，用三元有序实数组(x，y，z)来表示该点的位置. 坐标系的构成要素 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 坐标系的构成要素 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系 坐标系的构成要素 1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？ 思考 环节二 点的空间坐标 点的空间坐标 如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢 类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组. 当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C，则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a，b，c，那么点P就对应唯一的三元有序实数组(a，b，c). 反过来，任意给定一个三元有序实数组(a，b，c)，按照刚才作图的相反顺序，可以先在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为a，b和c的点A、点B和点C，再过点A，B，C各作一个平面，使之分别垂直于x轴、y轴和z轴，则这三个平面的唯一交点就是由三元有序实数组(a,b,c)确定的点P. 点的空间坐标 确定点的位置还可以用什么方法呢？ 1.确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置． 2.以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点． 思考 点的空间坐标 例1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标． 写点 点的空间坐标 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O xyz. 解：∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)； C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)． 点的空间坐标 1.如图，棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的 ... ...
