导数的概念与运算[上学期]

导数的概念与运算 淮安市涟西南中学高三备课组2006.2.23 教学目标:理解导数的有关概念及其几何意义，掌握导数的运算法则.会求函数在某点处切线的斜率. 教学重点:导数的概念及其几何意义 教学难点:导数的几何意义 一、知识梳理: 1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比 （也叫函数的平均变化率）有极限(即无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 理解:①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。 ②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0. ③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率. ④是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。 ⑤导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 ⑥若极限不存在，则称函数在点处不可导。 ⑦若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然， 若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。 2.如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即 ＝＝ 理解:①如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。 ②导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值.即＝. ③求导函数时,只需将求导数式中的换成就可,即＝ 3.利用导数定义求函数的导数的一般步骤是： ①求函数的改变量。 ②求平均变化率。 ③取极限，得导数＝。 4.①两个常用函数的导数：; ②导数的运算法则：如果函数有导数，那么 5. 切线的斜率 一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k. 二、基础回顾 1.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy）， 则等于 ……………………………………………………………………（ ） A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx2 2.若函数，则＝ 0 , .12 3.若,,则的值为 .1,-1 4. 已知曲线在处的切线的倾斜角为,则 . 三、典例剖析 1.求与直线平行且与曲线相切的直线方程. 解: 设,,,又, ,∴切点为（1,1）,∴切线为,. 2.设函数，求． 解: 3.（2004年高考重庆卷文科） 已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程. 解:∵ P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时, , ∴过点P（2，4）的切线方程为; 当切点不是P（2，4）时,设切点为, 则,又(), ∴,即, 又,∴, 即,, ,,又 ∴∴切点为,∴过点P（2，4）的切线方程为. 综合得过点P（2，4）的切线方程为或. 4.若直线是曲线的一条切线，求实数a的值. 解：设切点为P（x0，y0），则 ,又,∴3x02=3.∴x0=±1. ∵切点既在切线上又在曲线上, ∴,. （1）当时，∴,, ∴a=－3 （2）当时，∴,∴a=1 综上可知，实数a的值为－3或1. 四、巩固练习 1.(2003年天津高考)设，曲线在点处切 处的倾斜角的取值范围为 , 则P到曲线对称轴距离的取值范围为…（ ） A． B． C． D． 2.（2004年全国3）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为……………（ ） A.y=3x－4 B.y=－3x+2 C.y=－4x+3 D.y=4x－5 3.（2 ... ...