§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 基础过关练 题组一 直线的方向向量 1.(2020湖南张家界期末)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z=( ) A.0 B.1 C. D.3 2.(2021江西新余期末)已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量ν=(3,-2,1)与平面α平行,则z=( ) A.3 B.6 C.-9 D.9 3.已知空间中两条不同的直线m,n,其方向向量分别为a,b,则“ λ∈R,a≠λb”是“直线m,n相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题组二 平面的法向量 4.(多选)(2022辽宁大连月考)已知向量=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量是( ) A. B. C. D. 5.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面PAB的法向量的是( ) A. B.(1,,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1) 6.已知平面α内的两个向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的一个法向量,则m,n的值分别为( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 7.(2022安徽亳州第九中学月考)已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量n=(2,-1,2),若点P在平面α内,则点P的坐标可能是( ) A.(-4,4,0) B.(2,-1,1) C.(2,3,-3) D.(3,-3,4) 题组三 利用向量解决平行问题 8.(2021辽宁辽阳集美学校月考)若两条不重合的直线l1和l2的一个方向向量分别为ν1=(1,0,-1),ν2=(-2,0,2),则l1和l2的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 9.若平面α∥平面β,则下面可以是这两个平面的法向量的是 ( ) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 10.(2021北京陈经纶中学月考)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 11.(2020山东聊城期中)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为( ) A.(1,1,1) B. C. D. 题组四 利用向量解决垂直问题 12.下列命题中正确的是( ) A.若直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的投影垂直,则l⊥l' B.若直线l与平面α外的一条直线l'垂直,则l与l'在平面α内的投影垂直 C.若向量a和直线l在平面α内的投影垂直,则a⊥l D.若非零向量a和平面α平行,且和直线l垂直,直线l不与平面α垂直,则a垂直于l在平面a内的投影 13.(2020北京第一七一中学期中)设直线l1的一个方向向量为a=(1,2,-2),直线l2的一个方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m的值为( ) A.1 B.2 C. D.3 14.已知向量=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,则λ+k的值是 ( ) A. B. C. D. 15.(2021天津师范大学附中月考)若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面α的一个法向量为μ=(-2,0,-4),则直线l与平面α的关系为 . 16.(2021浙江绍兴第一中学质量检测)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD. 17.(2021广东东莞检测)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=a,E,F分别是BB1,CC1上的点,且BE=a,CF=2a,求证:平面AEF⊥平面ACF. 能力提升练 题组一 利用向量解决平行问题 1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,且A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 2.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC= ... ...
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