【精品解析】浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题25 直角三角形

浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题25 直角三角形 一、单选题 1．（2022·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：如图，以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点， ∵∠ABN=90°，BM=4，BN=2， ∴MN== 又∵AM=2，∠A=90°， ∴Rt△AMP≌Rt△DMN（HL）， ∴AP=BM=4，即P在格点上， 又∵∠PMA+∠DMN=90°， ∴△PMN为等腰直角三角形，即∠MPN=45°， ∴PN=MN=2，且此时PN的长最大. 故答案为：C. 【分析】以点M为圆心，MN的长为半径画圆交AD边于P点，由勾股定理求得MN的长，利用“HL”定理证出Rt△AMP≌Rt△DMN，得AP=BM=4，即P在格点上，即可证得构造的△PMN为等腰直角三角形，此时的PN的长最大，利用等腰直角三角形性质即可求出PN的长. 2．（2022·湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】B 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，BD=BC， ∴EB=EC， ∵∠EBC=45°，BC=6， ∴△BEC为等腰直角三角形， ∴BE=EC=BC=3， ∴S△BEC=BE·EC=×3×3=9. 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形“三线合一”性质得AD⊥BC，BD=BC，从而得EB=EC，进而得△BEC为等腰直角三角形，从而求出BE=EC的长，再根据三角形面积计算公式代入数据计算即可求解. 3．（2021·杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB=（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∵AD平分 ， ∴∠BAD=45°， ∵ ， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴AP=PE， ∴ ， ∵AB=AE， ∴ ， ∴ ； 故答案为：D. 【分析】利用垂直的定义可证得∠CAB=90°，利用角平分线的定义求出∠BAD的度数，由此可证得△APE是等腰直角三角形，可推出AP=PE；利用勾股定理表示出AE，可得到AB的长；然后求出AP与AB的比值. 4．（2021·绍兴）如图，菱形ABCD中， ，点P从点B出发，沿折线 方向移动，移动到点D停止.在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的性质；四边形-动点问题 【解析】【解答】解：连接AC，BD，如图所示. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B. ∵∠B=60°， ∴∠D=∠B=60°. ∴△ABC和△ADC都是等边三角形. 点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置： （1）当点P移动到BC边的中点时，记作 . ∵△ABC是等边三角形， 是 BC的中点， ∴ . ∴ . ∴△ABP1是直角三角形. （2）当点P与点C重合时，记作 . 此时，△ABP2是等边三角形； （3）当点P移动到CD边的中点时，记为 . ∵△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴ . ∴△ABP3是直角三角形. （4）当点P与点D重合时，记作 . ∵ ， ∴△ABP4是等腰三角形. 综上，△ABP形状的变化 ... ...