4.1 导数的概念及其运算 课标要求 考情分析 核心素养 1.导数概念及其意义 ⑴通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.⑵体会极限思想.⑶通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.导数运算 ⑴能根据导数定义求函数的导数.⑵能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如)的导数.⑶会使用导数公式表. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象 2022(Ⅰ)卷 15 已知切线条数求参数的取值范围 2022(Ⅱ)卷 14 求切线方程 2021(Ⅰ)卷 7 已知切线条数求参数的取值范围 2021(Ⅱ)卷 16 导数的几何意义 1．导数与导函数的概念 (1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′，f′(x)＝ ＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0),则切线方程为． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q且) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．． 3．函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．【P70 T4】已知某物体位移米与时间秒的关系是，则速度为米秒的时刻是( ) A. 秒末 B. 秒末 C. 秒末 D. 秒末或秒末 2．【P70 练2】已知函数在上存在导函数，函数的图像如图所示，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. . 考点一 导数的概念及计算 【方法储备】 导数运算技巧： 【典例精讲】 例1.(2021·山东省东营市月考.多选) 设函数，则下列说法正确的是( ) A. B. C. 在处的切线方程为 D. 【名师点睛】 导数运算的技巧： (1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量． (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 【靶向训练】 练1-1(2021·江苏省徐州市期中) 已知函数的导函数为，且满足关系式 ，则的值等于 ． 练1-2(2022·江西省宜春市月考) 已知实数满足，，，那么的值为( ) A. B. C. D. 考点二 求曲线的切线方程及切点坐标 【方法储备】 利用导数研究曲线的切线问题： （1）已知斜率求切线方程：由斜率求出切点坐标，求出切线方程. （2）已知切点求切线方程：求出切点处的导数值，即为切线斜率，求出切线方程. （3）过点的切线方程：区分点是否为切点 ①点为切点：切线方程为，切线只有一条； ②点不为切点：设出切点坐标,表示出在点切线方程，将点坐标带入切线方程求出，得到切线方程. 【典例精讲】 例2.(2021·江苏省无锡市月考) 已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 求经过点的曲线的切线方程。 【名师点睛】 1. 区 ... ...
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