4.5 导数的综合应用 题型特点 考情分析 核心素养 导数的综合应用是历年高考的热点，试题难度通常较大，多以压轴题的形式出现，命题的热点主要是利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究函数的零点（方程的根）；利用导数研究恒成立或存在性问题等.体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 直观想象 2022(Ⅰ)卷 22 利用导数研究函数零点问题 2022(Ⅱ)卷 22 利用导数研究恒成立问题、不等式证明 2021(Ⅰ)卷 22 利用导数证明不等式 2021(Ⅱ)卷 22 利用导数研究零点问题 2020(Ⅰ)卷 21 利用导数研究恒成立问题 1．利用导数研究函数的图象与性质 （1）函数图象的识别：利用定义域、奇偶性、特殊点，无法得出正确选项时，求导研究单调性，排除选项； （2）作出函数图象： ①求导，明确函数单调区间；②借助极值、最值、零点等特殊值，画出函数的大致图象. 2．利用导数研究函数零点问题思路 （1）转化为函数图象交点：方程有实根两个函数图象的交点问题函数有零点． 将变形为，转化为的图象交点问题，类型有： ①一平一曲：一平即常数函数（为常数）图象与一曲线图象的交点； ②一斜一曲：一斜即一次函数图象与一曲线图象的交点； ③两曲：两个函数图象均为曲线，凸凹性相反. （2）利用零点存在性定理解决：利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，判断函数零点个数. 3．利用导数研究不等式恒成立或存在性问题 不等式恒成立问题或存在性问题转化为求函数最值问题，利用导数研究函数最值，求出参数的取值范围. ㈠ 不等式在某个区间上恒成立或存在性成立问题的转化途径： ⑴；； ⑵；； ⑶； ㈡ 双变量的“任意性”与“存在性”问题 ①,都有恒成立； ②,都有恒成立； ③,都有恒成立； ④,都有恒成立； ⑤,都有的值域是值域的子集； ⑥,都有的值域与值域的交集不为空集. 1．【P104 T18】已知函数，其中． Ⅰ当时，求函数的单调区间； Ⅱ当时，证明：． 2．【P104 T19】已知函数为常数． 讨论函数的单调性； 若为整数，函数恰好有两个零点，求的值． 考点一 利用导数研究函数零点问题 【方法储备】 函数零点问题主要考查2个方向：①研究函数零点个数；②由函数零点存在性情况求参数的取值范围. 常用思路有： ⑴图象法： ①通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数； ②令，将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题.在同一坐标系中，画出两个函数的图象，得出零点个数，或求出参数的取值范围. ⑵定理法：求导研究函数的单调性与极值，利用零点存在性定理逐个单调区间判断是否存在零点，或根据零点存在性情况，推导出函数本身需要满足的条件，求出参数的取值范围.若函数较复杂，需要构造函数或多次求导. 【典例精讲】 例1. (2022·湖北省孝感市期月考) 已知函数，为的导数． 证明：当时，； 设，证明：有且仅有个零点． 例2.(2022·福建省泉州市期末) 已知函数． 当时，讨论的单调性； 若有两个零点，求的取值范围． 【名师点睛】 1.函数解析式复杂时，可对函数解析式做适当变形，变成几个因式相乘，取零点不确定的因式，构造函数，判断零点个数. 2.已知零点个数求参：①分离参数变形为,转化为求函数的最值问题，或者的图象与的图象在给定区间上的交点问题； ②若含参讨论，有几个零点就至少有几个单调区间，每个单调区间要分别求函数值，保证端点处函数值异号，该区间有且仅有一个零点. 3.极值点的转化：原函数的极值点问题转化为导函数的零点问题解决. 【靶向训练】 练1-1(2022·安徽省合肥市月考.多选) 已知函数，则下列说法正确的是( ) A. 当时 ... ...
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