6.4 数列求和 课标要求 考情分析 核心素养 1.熟练掌握等差、等比数列的前项和公式． 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 新高考3年考题 题 号 考 点 数学运算 逻辑推理 数学抽象 2022(Ⅰ)卷 17 裂项相消法求和 2021(Ⅰ)卷 16 17 错位相减法求和、公式法求和 2020(Ⅱ)卷 14 公式法求和 2020(Ⅱ)卷 18 公式法求和 1．数列求和 ⑴公式法 ①等差数列前项和公式：. ②等比数列前项和公式：. ⑵重要公式 ① ② ③ ④ ⑤等差数列中：； ⑥等比数列中：. 2．数列求和方法的选择 给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 1．【P40 T3】已知数列满足：，，则数列的前项和_____． 2．【P56 T10】已知数列的前项和为，且． 求的通项公式 若，求数列的前项和． 考点一 分组(并项)法求和 【方法储备】 分组转化法求和的常见类型: 1.若，且为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和． 2.通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：一些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【典例精讲】 例1. (2022·湖北省武汉市月考)设等比数列的首项，前项和为，且 ． 若等比数列的公比，求的通项公式； 若为正项数列，求的前项和． 【名师点睛】 1.分组求和的基本策略:①根据两个特殊数列(等差、等比数列)进行合理分组;②根据数列中的项的正号、负号进行合理分组等. 2.技巧策略:利用分组转化法进行数列求和要过“转化”关、“方程”关、“分组求和”关和“公式”关. 【靶向训练】 练1-1(2022·河北省保定市月考）已知数列满足，， 记． 证明：是等比数列； 设，求数列的前项和． 练1-2(2022·浙江省台州市月考) 已知正项数列，其前项和为， 求数列的通项公式： 设，求数列的前项和． 考点二 错位相减法求和 【方法储备】 错位相减法求和的策略： 1.如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 前项和时，可采用错位相减法. 设等比数列的公比为, 等差数列的公差为： ① ② ①-②得, 整理求得. 2.提醒 ⑴在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式． ⑵在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分为公比等于1和不等于1两种情况求解． 【典例精讲】 例2.(2022·浙江省杭州市月考) 已知数列的前项和为，且， 求的通项公式 若数列满足，记数列的前项和为，求证：． 【名师点睛】 应用错位相减法求和时还需注意：①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为项. 【靶向训练】 练2-1 (2022·上海市市辖区模拟) 已知是公差为的等差数列，，且是和的等比中项． 求的通项公式； 设数列满足，求的前项和． 练2-2(2021·广东省深圳市期末) 设数列的前项和为，已知，，． 证明：为等比数列，求出的通项公式 若，求的前项和，并判断是否存在正整数使得成立若存在求出所有值，若不存在说明理由． 考点三 裂项相消法求和 【方法储备】 1.裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. 2.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． ⑴若 ... ...
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