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课件网) 平面的法向量及其应用 点、直线、平面是空间中的基本图形，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示直线或平面.我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，类似地，空间中给定一点和一条直线后，可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面吗？ 1.哪些定义能判断一条直线和一个平面垂直？ [答案] （1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判定定理；（3）面面垂直的性质定理. 2.如果一条直线的方向向量与一个平面垂直，能判断这条直线与该平面垂直吗？ [答案] 能. 3.在正方体
中，每一条棱所在直线的方向向量及每一个表面的法向量都只有一个吗？ [答案] 不是，每一条棱所在直线的方向向量有多个，例如直线
的方向向量可以是
，
，
，
，
等.每一个表面的法向量也有多个,例如平面
的法向量可以是
，
，
，
等. 1.已知平面 过点 ，其法向量为 ，则下列点不在平面 内的是( @4@ ). A. B. C. D. C [解析] 设平面
内的点
，则
,结合法向量的定义可得
，即
. 若
，
，则
，故点
在平面
内； 若
，
，则
，故点
在平面
内； 若
，
，则
，故点
不在平面
内； 若
，
，则
，故点
在平面
内. 故选C. 2.（多选题）已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，若 ， ， ，则下列结论正确的有( @6@ ). A. B.四边形 为矩形 C. 是平面 的一个法向量 D. AC [解析] 因为
，所以
，A正确； 由
，可得平行四边形
不是矩形，B错误； 因为
，所以
， 因为
，
，
平面
，所以
平面
，故
是平面
的一个法向量，又
平面
，所以
，C正确，D错误. 3.若 ， ， 是平面 内的三点，设平面 的法向量 ，则 _____.
[解析] 因为
，
，且
，
， 所以
解得
所以
探究 平面的法向量 如图，设两条直线相交于点
，它们确定平面
，对应的方向向量分别为
和
，
为空间内任意一点. 问题1：.点
在平面
内的充要条件是什么？ [答案] 存在唯一的有序实数对
，使得
. 问题2：.若
，试问
与向量
和
有什么关系？ [答案]
，
. 问题3：.什么是平面
的法向量？
是平面
的法向量吗？ [答案] 若直线
与平面
垂直，则直线
的方向向量叫作平面
的法向量.
不是平面
的法向量. 问题4：.如何选取平面的法向量？ [答案] 平面
的一个法向量垂直于与平面
共面的所有向量,即只需作一条垂直于平面
的直线，再选取该直线的方向向量即可. 新知生成 1.平面的法向量:如果一条直线
与一个平面
垂直，那么直线
的方向向量
叫作平面
的法向量，则
. 2.平面
的向量表示:设点
是平面
内给定的一点，向量
是平面
的一个法向量，那么对平面
内任意一点
，必有
. 3.平面
的方程:在空间直角坐标系中，若
，点
的 ... ...
