第2章 函数的表示

第2讲　函数及其表示 教案 1．函数的有关概念 (1)函数的概念：设A、B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称 ，记作 ．其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ，显然，值域是集合B的 集 ． (2)函数的三要素有： 、 和 ． (3)函数的表示方法有： 、 、 ． (4)相等函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．映射的概念 映射：设A，B是两个 ，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 元素x，在集合B中都有 的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作： 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是 函数． 4．复合函数 如果y是u的函数，记为y＝f(u)，u又是x的函数，记为u＝g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数y＝f(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y＝f(u)叫做外层函数，u＝g(x)叫做内层函数． 1．函数f(x)＝lg (x－1)的定义域是_____． 解析：要使函数f(x)有意义，则x－1>0，即x>1. 答案：(1，＋∞) 2．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中不正确的有_____． 解析：只有①正确，②③④错误． 答案：②③④ 3．函数f(x)＝＋lg (1＋x)的定义域是_____． 解析：由得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,1)∪(1，＋∞) 4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝_____. 解析：方程3x＝2(x≤1)的解为x＝log32；方程－x＝2(x＞1)无解． 答案：log32 5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝_____. 解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，解得a＝2. 答案：2 热点考向一 求函数的定义域 【例1】(1)函数f(x)＝的定义域是_____； (2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是_____． 【解析】　(1)要使函数有意义，应有∴解之得－＜x＜且x≠±， 所以函数的定义域是{x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜}． (2)∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，∴函数y＝f(log2x)中≤log2x≤2. 即log2≤log2x≤log24，∴≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[，4]． 【答案】　(1){x|－＜x＜－或－＜x＜或＜x＜}　(2)[，4] 【点评】 (1)求函数的定义域，其实质就是函数解析式有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其依据一般是：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数非负；③y＝x0中x≠0；④对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤实际问题中，函数定义域要考虑实际意义． (2)求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系． 【变式1】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28. (1)函数f(x)＝的定义域为_____． 解析：由得解得x≥3，所以函数的定义域为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) (2)若f(x)＝，则f(x)的定义域为_____． 解析：根据题意得log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－，0)．答案：(－，0) 热点考向二 求函数的解析式 【例2】(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 【解析】 (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为 ... ...