5.2.1实际问题中的函数刻画 【教学目标】 重点、难点 重点：会利用已知函数模型解决实际问题． 难点：能建立函数模型解决实际问题 学科素养 通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养.。 【知识清单】 用函数模型解决实际问题 (1)常用的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y ＝ kx ＋ b k ≠0 反比例函数模型 y ＝ ＋ b k ≠0 二次函数模型 一般式： y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 顶点式： y ＝ a ＋ a ≠0 指数函数模型 y ＝ b · a x ＋ c b ≠0 ， a >1 ，且 a ≠1 对数函数模型 y ＝ m log a x ＋ n m ≠0 ， a ＞0 ，且 a ≠1 幂函数模型 y ＝ ax n ＋ b a ≠0 (2)数据拟合 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数 图像 ，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数 表达式 ，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． 思考：解决应用问题的关键是什么？ [提示] 将实际问题转化为数学问题． 【经典例题】 【例1】 某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 x (年) 0 1 2 3 生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 (1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值． 【例2】 如图1是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图像． 图1 图2 图3 (1)试说明图1上点 A 、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？ 【例3】 某个体经营者把开始六个月试销 A ， B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资 A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资 B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资 A ， B 两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字) 【课堂达标】 1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（ ） A． B． C． D． 2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ） A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b 3．当时，，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ） A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 5．某宾馆共有客床100张，各床每晚收费 10 元时可全部住满，若每晚收费每提高 2 元，便减少 10 张客床租出，则总收入 y(y>0)元与每床每晚收费应提高 x(假设 x 是 2 的正整数倍)元的关系式为( ) A．y＝(10＋x)(100－5x) B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18 D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8 6．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示： x 1 2 3 … y 1 3 5 … 下面的函数关系式中，能表达这 ... ...
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