3.2.2 双曲线的简单几何性质 基础练 1.双曲线=1的左顶点与右焦点间的距离为( ) A.2 B.4 C.5 D.8 2.(2022天津一中高二期中)离心率为2的双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程是( ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.x±y=0 3.已知双曲线C的离心率为e=,虚轴长为2,则其标准方程为( ) A.=1 B.=1或=1 C.=1或=1 D.=1或=1 4.双曲线C:=1(m>0)的一条渐近线的方程为2x+y=0,则双曲线C的离心率为 ( ) A. B.2 C.4 D. 5.已知双曲线的方程为x2-=1,则下列叙述正确的是( ) A.焦点坐标为(±1,0) B.渐近线方程为y=±x C.离心率为 D.实轴长为2 6.(多选题)(2022山西大同一中高二月考)若双曲线C的一个焦点为F(5,0),P是双曲线上一点,且双曲线的渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是( ) A.C的标准方程为=1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 7.已知点(3,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b= ,顶点到渐近线的距离为 . 8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点之间的距离为,求此双曲线的标准方程. 提升练 9.(2022北京陈经纶中学高二期中)已知双曲线的一条渐近线为直线x-y=0,且一个焦点坐标是(-2,0),则双曲线的标准方程是( ) A.y2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-x2=1 10.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m等于( ) A.- B.-4 C.4 D. 11.(多选题)已知双曲线=1(m>0),则下列说法正确的是( ) A.离心率的最小值为4 B.当m=2时,离心率最小 C.离心率最小时,双曲线的标准方程为=1 D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为x±y=0 12.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M,N两点,若∠MF2N是钝角,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(,+∞) C.(1,2) D.(1,) 13.已知双曲线C:-y2=1,P为C上的任意点,设点A的坐标为(3,0),则|PA|的最小值是 . 14.焦距为2c的双曲线C:=1(a>0,b>0),如果满足“2b=a+c”,则称此双曲线为“等差双曲线”. (1)若双曲线C是“等差双曲线”,求其渐近线的方程; (2)对于焦距为10的“等差双曲线”,若过点M(0,2)的直线l与其仅有一个公共点,求直线l的方程. C级学科素养创新练 15.(2022安徽宿州高二期中)已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,且AF1的中点在y轴上,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D.+1 参考答案 1.D 由=1,知a=3,c=5,所以左顶点与右焦点间的距离为a+c=8. 故选D. 2.D 由题意,双曲线=1的离心率为e==2,则a∶b∶c=1∶∶2,即, 所以双曲线=1的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.故选D. 3.D 由题意可得2b=2,所以b=. 又因为e=,所以可得a2=9,焦点可能在x轴,也可能在y轴上,故选D. 4.D 根据题意,双曲线C:=1(m>0)的一条渐近线的方程为2x+y=0, 则有=2,即m=8,则双曲线的方程为=1,其中a=,b=2,则c=,则双曲线的离心率为e=.故选D. 5.B 由已知得a=1,b=,c=,所以实轴长为2a=2,焦点坐标为(±,0),离心率为e=,故A,C,D不正确; 双曲线的渐近线方程为y=±x,故B正确.故选B. 6.AD 由于双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 所以渐近线的方程为y=±x,即bx±ay=0,由题意,即b=a, 再由c2=a2+b2=a2+a2=25,可得a2=9,b2=16, 所以双曲线的标准方程为=1,故A正确; 离心率e=,故B不正确; 焦点F到渐近线的距离d==b=4,故C不正确; |PF|的最小值为c-a=5-3=2,故D正确. 故选AD. 7.2 因为点(3,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,所以a=1,c=3,所以b=2,于是双曲线的渐近线方程为y=±2x,顶点为(±1,0),所以顶点到渐近线的距离为d=. 8.解∵e=,∴,∴, ∴a2=3b2. ① 又直线AB的方程为bx-ay-ab=0, ∴直线AB与原点之间的距离d=, 即4a2b2=3(a2+b2). ... ...
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