3.3.2 抛物线的简单几何性质 基础练 1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是( ) A.y2=8x或x2=8y B.y2=-8x或x2=-8y C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+|BF|的值( ) A.等于8 B.等于7 C.等于5 D.随A,B两点坐标变化而变化 3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为( ) A.y2=4x B.y2=8x C.y2=12x D.y2=16x 4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.0 5.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则 ( ) A.曲线C的标准方程为x2=4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2 D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥2 6.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为 ;水面下降1米后,水面宽 米. 图1 图2 7.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为 . 8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2). (1)求抛物线C的标准方程; (2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值. 提升练 9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是( ) A. B. C. D.1 10.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为( ) A.y2=x B.y2=3x C.y2=x D.y2=9x 11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于( ) A.2 B. C.2 D.4 12.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( ) A.C的准线方程为x=-1 B.线段AB的长度的最小值为4 C.M的坐标可能是(3,2) D.存在直线l,使得OA与OB垂直 13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是 . 14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求|AB|. C级学科素养创新练 15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切. (1)求E的标准方程; (2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB. 参考答案 1.C 当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x; 当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x. 所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C. 2.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A. 3.B 抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1--=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B. 4.B 因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0. 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B. 5.AB 由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB. 6.x2=-4y 4 设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由已知抛物线经过点(2,-2), 可得8=-2p×(-2),解得p=2,所 ... ...
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