【备战2014高考数学专题汇编】 专题4：数学思想方法之归纳思想 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。 数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数（式）的排列或运算规律归纳；（2）根据图形的排列或运算规律归纳；（3）根据寻找的循环规律归纳；（4）数学归纳法的应用。 一、根据数（式）的排列或运算规律归纳： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2013年安徽省文13分）设数列满足，,且对任意，函数 满足 ∴。 （2）由（1）可得，。 ∴ 。 【考点】数列的求和，导数的运算，等差关系的确定，等比关系的确定。 【解析】（1）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{an}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an。 （2）利用（1）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn。 例2. （2013年北京市理5分）若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ▲ ；前n项和Sn= ▲ . 【答案】2；。 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和。 【分析】∵a2＋a4=20，a3＋a5=40， ∴，解得。 ∴。 例3. （2013年福建省理5分） 已知等比数列{an}的公比为q，记， (m，n∈N﹡)，则以下结论一定正确的是【 】 A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 D．数列{cn}为等比数列，公比为 【答案】C。 【考点】等比关系和等差关系的确定，特殊元素法和排他法的应用。 【分析】取an＝1，q＝1，则bn＝m，cn＝1，排除A； 取a1＝1，q＝－1，m取正偶数，则bn＝0，排除B； 。 故选C。 例4. （2013年福建省理4分） 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式： 两边同时积分得：， 从而得到如下等式： 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： ＝ ▲ ． 【答案】。 【考点】归纳推理，二项式定理，定积分。 【分析】由二项式定理得：， 对两边同时积分得： ， 从而得到如下等式：。 例5. （2013年福建省文12分） 已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. （1）若1，a1，a3成等比数列，求a1； （2）若S5>a1a9，求a1的取值范围． 【答案】解：（1）∵数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列， ∴a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2。 （2）∵数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， ∴5a1＋10>a＋8a1，即a＋3a1－10<0，解得－5
